Một hành lang giữa hai nhà có hình dạng một lăng trụ đứng (xem hình bên). Hai mặt bên ABB'A' và ACC'A' là hai tấm kính hình chữ nhật dài 20 m, rộng 5 m. Gọi x (m) là độ dài của cạnh BC.

a) Ta có:

Kẻ AH là chiều cao của tam giác ABC

Lúc này, AH = \(\sqrt {A{C^2} - H{C^2}} \) = \(\sqrt {25 - {{\left( {\frac{x}{2}} \right)}^2}} \) = \(\frac{1}{2}\sqrt {100 - {x^2}} \).

Diện tích tam giác ABC là:

S_∆ABC = \(\frac{1}{2}\)BC. AH = \(\frac{1}{2}\)x\(\frac{1}{2}\sqrt {100 - {x^2}} \) = \(\frac{1}{4}x\sqrt {100 - {x^2}} \).

Thể tích khối lăng trụ là:

V = S_∆ABC. AA' = 5x\(\sqrt {100 - {x^2}} \) (m³) với 0 < x < 10.

b) Xét hàm số thể tích f(x) = 5x\(\sqrt {100 - {x^2}} \) trên khoảng (0; 10).

Ta có: f'(x) = 5\(\sqrt {100 - {x^2}} \) + 5x.\(\frac{{ - 2x}}{{2\sqrt {100 - {x^2}} }}\) = \(\frac{{500 - 10{x^2}}}{{\sqrt {100 - {x^2}} }}\);

           f'(x) = 0 ⇔ x = \(5\sqrt 2 \) (x > 0).

Bảng biến thiên:

Vậy hình lăng trụ có thể tích lớn nhất khi x = \(5\sqrt 2 \) (m).

Vậy \(\mathop {\max }\limits_{x \in (0;10)} V = V\left( {5\sqrt 2 } \right) = 250\)(m³).