Một hãng công nghệ dự định tung ra thị trường một loại tai nghe không dây mới

Đổi \(500\) nghìn đồng = \(0,5\) triệu đồng

Ta có \(x\)(triệu đồng) là chi phí quảng cáo. Điều kiện: \(x > 0\)

a) Theo bài, nếu chi \(x = {e^3} - 1\) triệu đồng thì bán được \(n(x) = 190\) sản phẩm

Ta có: \(A + 30.\ln (1 + {e^3} - 1) = 190 \Leftrightarrow A = 190 - 90 = 100\). Vậy (a) đúng.

b) Doanh thu của cửa hàng là: \(D(x) = 1,2.\,n(x) = 1,2\,.\left[ {A + 30.\ln (1 + x)} \right] = 1,2\,.\left[ {100 + 30.\ln (1 + x)} \right] = 120 + 36.\ln (1 + x)\)

Chi phí sản xuất \(n(x)\) sản phẩm là: \(0,5.\,n(x) = 0,5.\,\left[ {A + 30.\ln (1 + x)} \right] = 50 + 15.\ln (1 + x)\)

Chi phí quảng cáo là \(x\) (triệu đồng)

Lợi nhuận = Doanh thu – chi phí sản xuất – chi phí quảng cáo

Hàm lợi nhuận là: \(L(x) = D(x) - C(x) - x = 120 + 36.\ln (1 + x) - \left[ {50 + 15.\ln (1 + x)} \right] - x\)

\(L(x) = 70 + 21.\ln (1 + x) - x\)

Vậy (b) sai.

c) Khi chi phí quảng cáo đang ở mức \(x = 6\) triệu đồng thì lợi nhuận đạt được là

\(L(6) = 70 + 21.\ln (1 + 6) - 6 = 104,864 \approx 105\) (triệu đồng)

Vậy (c) sai.

d) Hàm lợi nhuận là:

\(L(x) = 70 + 21.\ln (1 + x) - x\)\( \Rightarrow L'(x) = \frac{{21}}{{1 + x}} - 1 = \frac{{20 - x}}{{{{\left( {1 + x} \right)}^2}}} = 0 \Leftrightarrow x = 20\)

Bảng biến thiên:

Vậy lợi nhuận lớn nhất khi số tiền chi cho quảng cáo là \(20\) triệu đồng. Vậy (d) sai.