Một giống cây tre cảnh khi mới trồng có chiều cao 10 cm. Gọi h(t) là chiều cao của cây (tính bằng cm) ở thời điểm t kể từ khi được trồng, với t được tính theo tuần.

Xét mệnh đề a)

Ta có: \(h\left( 3 \right) =  - {0,1.3^3} + {3.3^2} + 10 = 34,3\)cm nên mệnh đề a) đúng

Xét mệnh đề b)

Tốc độ tăng chiều cao là \[h'\left( t \right) =  - 0,3{t^2} + 6t \Rightarrow h'\left( 5 \right) =  - {0,3.5^2} + 6.5 = 22,5\](cm/tuần) nên mệnh đề b) đúng

Xét mệnh đề c)

Ta có \[h'\left( t \right) =  - 0,3{t^2} + 6t\] (với \(t \ge 0\))  đạt giá trị lớn nhất tại \(x =  - \frac{b}{{2a}} =  - \frac{6}{{ - 0,6}} = 10\)

Vậy cây tre đạt tốc độ tăng trưởng lớn nhất ở tuần thứ \(10\) nên mệnh đề c) đúng

Xét mệnh đề d)

Vòng đời phát triển là khoảng thời gian cây tre còn co lên, tức là khi tốc độ tăng trưởng của cây tre là \(h'\left( t \right) \ge 0 \Leftrightarrow  - 0,3{t^2} + 6t \ge 0 \Leftrightarrow t \le 20\)

Vậy vòng đời phát triển theo mô hình này là từ \(t = 0\) tuần đến \(t = 20\) tuần

Tốc độ tăng trưởng trung bình của cây tre là: \[{V_{TB}} = \frac{{h\left( {20} \right) - h\left( 0 \right)}}{{20 - 0}} = \frac{{410 - 10}}{{20}} = 20\](cm/tuần)

Khi đó cây bạch đàn có chiều cao ban đầu là \(10\)cm và tốc độ tăng trưởng là \(20\)(cm/tuần)

Suy ra hàm biểu thị quá trình sinh trưởng của cây bạch đàn là: \(g\left( t \right) = 10 + 20t\)(cm)

Sự chênh lệch chiều cao giữa hai cây khi đó là: \(D\left( t \right) = h\left( t \right) - g\left( t \right) =  - 0,1{t^3} + 3{t^2} - 20t\)

Khảo sát hàm số \(D\left( t \right)\) trên đoạn \(\left[ {0;\,20} \right]\) có \[D'\left( t \right) =  - 0,3{t^2} + 6t - 20 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{t_1} = \frac{{30 - 10\sqrt 3 }}{3}\\{t_2} = \frac{{30 + 10\sqrt 3 }}{3}\end{array} \right.\]

Tính giá trị tại các đầu mút, suy ra khoảng cách lớn nhất là: \({d_{\max }} = \left| {D\left( {\frac{{30 + 10\sqrt 3 }}{3}} \right)} \right| \approx 38,5\)(cm) nên mệnh đề d) sai