Một gia đình muốn xây một bể chứa nước dạng hình hộp chữ nhật (không có nắp) có thể tích bằng 45m^3 , đáy bể là hình chữ nhật có chiều dài gấp hai lần chiều rộng.

Gọi độ dài chiều rộng đáy bể là \[x(m)\], chiều cao đáy bể là \[y(m)\] \[(x > 0,y > 0)\].

Khi đó, chiều dài đáy bể là \[2x(m)\].

Do thể tích của bể bằng \[45{m^3}\] nên ta có \[2{x^2}y = 45\].

Diện tích đáy bể là \[2{x^2}\] nên số tiền thuê nhân công là \[300\,\,000.2{x^2} = 600\,\,000{x^2}\] (đồng).

Diện tích xung quanh đáy bể là \[6xy\] nên số tiền thuê nhân công là \[240\,\,000.6xy = 1\,\,400\,\,000xy\](đồng).

Gọi \[T\] là tổng số tiền thuê nhân công để xây bể thì \[T = 600\,\,000{x^2} + 1\,\,400\,\,000xy\]

Sử dụng bất đẳng thức AM-GM cho 3 số dương ta có:

\[\begin{array}{l}T = 600\,\,000{x^2} + 1\,\,400\,\,000xy = 120\,\,000\left( {5{x^2} + 12xy} \right) = 120\,\,000(5{x^2} + 6xy + 6xy)\\ \ge 120\,\,000 \cdot 3 \cdot \sqrt[3]{{5{x^2} \cdot 6xy \cdot 6xy}} = 3\,\,600\,\,000 \cdot \sqrt[3]{{180{{\left( {{x^2}y} \right)}^2}}} = 3\,\,600\,\,000.\sqrt[3]{{45{{\left( {2{x^2}y} \right)}^2}}}\\ = 3\,\,600\,\,000 \cdot \sqrt[3]{{45 \cdot {{45}^2}}} = 3\,\,600\,\,000 \cdot 45 = 16200\,\,000\end{array}\]

Dấu đẳng thức xảy ra khi \[5{x^2} = 6xy,2{x^2}y = 45\], suy ra \[x = 3,y = 2,5\]

Vậy chi phí thấp nhất để xây bể là \[16,2\] triệu đồng.