Một đường ống dẫn dầu dài 100 km có tiết diện thay đổi dọc theo chiều dài ống. Vận tốc dòng chảy tại điểm cách đầu ống x km được mô tả bởi hàm v ( x ) = 300 /(1 + x^2) ( k m / h ) .

17/50

Một đường ống dẫn dầu dài 100 km có tiết diện thay đổi dọc theo chiều dài ống. Vận tốc dòng chảy tại điểm cách đầu ống x km được mô tả bởi hàm \(v\left( x \right) = \frac{{300}}{{1 + {x^2}}}\left( {{\rm{km}}/{\rm{h}}} \right)\). Tiết diện của đường ống cũng thay đổi theo chiều dài và được cho bởi hàm \(A\left( x \right) = 0,5 + 0,1{\rm{sin}}x\left( {{m^2}} \right)\). Tính tổng lượng dầu chảy qua đoạn đường ống trong 5 giờ đầu tiên? Tất cả kết quả làm tròn theo quy tắc làm tròn đến hàng đơn vị.

\(229\left( {{m^3}/h} \right)\).

\(230\left( {{m^3}/h} \right)\).

\(228\left( {{m^3}/h} \right)\).

\(225\left( {{m^3}/h} \right)\).

Giải thích

Lưu lượng dầu tại điểm cách đầu ống dầu \(x{\rm{\;km}}\) là tích của vận tốc dòng chảy và tiết diện ống dẫn.

\(Q\left( x \right) = v\left( x \right).A\left( x \right) = \frac{{300}}{{1 + {x^2}}}\left( {0,5 + 0,1{\rm{sin}}x} \right) = \frac{{150 + 30{\rm{sin}}x}}{{1 + {x^2}}}\).

Lượng dầu chảy qua ống trong thời gian t là tích phân của lưu lượng \(Q\left( x \right)\) theo \(x\) và thay đổi theo thời gian. Tuy nhiên, do lưu lượng \(Q\left( x \right)\) phụ thuộc vào vị trí \(x\), nên ta cần xác định khoảng cách \(x\) mà dầu đi trong 5 giờ đầu.

Tại mỗi thời điểm \(t\), vận tốc dòng chảy có thể được mô tả bởi công thức

\(v\left( x \right) = \frac{{d\left( x \right)}}{{d\left( t \right)}} \Rightarrow \frac{{d\left( x \right)}}{{d\left( t \right)}} = \frac{{300}}{{1 + {x^2}}} \Rightarrow dt = \frac{{1 + {x^2}}}{{300}}dx\)

Vậy lưu lượng dầu chảy trong 5 giờ đầu tiên là: . Chọn C.