Một đường ống dẫn dầu dài 100 km có tiết diện thay đổi dọc theo chiều dài ống.

Đáp án đúng là C

Phương pháp giải

Tổng lượng dầu có thể tính bằng tích phân của lưu lượng \(Q\left( x \right) = v\left( x \right).A\left( x \right)\) trên đoạn chiều dài trong thời gian cho trước.

Lời giải

Lưu lượng dầu tại điểm cách đầu ống dầu \(x{\rm{\;km}}\) là tích của vận tốc dòng chảy và tiết diện ống dẫn

\(Q\left( x \right) = v\left( x \right).A\left( x \right) = \frac{{300}}{{1 + {x^2}}}\left( {0,5 + 0,1{\rm{sin}}x} \right) = \frac{{150 + 30{\rm{sin}}x}}{{1 + {x^2}}}\)

Lượng dầu chảy qua ống trong thời gian t là tích phân của lưu lượng \(Q\left( x \right)\) theo x và thay đổi theo thời gian. Tuy nhiên, do lưu lượng \(Q\left( x \right)\) phụ thuộc vào vị trí x, nên ta cần xác định khoảng cách \(x\) mà dầu đi trong 5 giờ đầu.

Tại mỗi thời điểm \(t\), vận tốc dòng chảy có thể được mô tả bởi công thức

\(v\left( x \right) = \frac{{d\left( x \right)}}{{d\left( t \right)}} \Rightarrow \frac{{d\left( x \right)}}{{d\left( t \right)}} = \frac{{300}}{{1 + {x^2}}} \Rightarrow dt = \frac{{1 + {x^2}}}{{300}}dx\)

Vậy lưu lượng dầu chảy trong 5h đầu tiên là: