Một đường dây điện được nối từ một nhà máy điện ở A đến một hòn đảo ở C như Hình 1.40. Khoảng cách từ C đến B là 4 km
29/40
Một đường dây điện được nối từ một nhà máy điện ở A đến một hòn đảo ở C như Hình 1.40. Khoảng cách từ C đến B là 4 km. Bờ biển chạy thẳng từ A đến B với khoảng cách là 10 km. Tổng chi phí lắp đặt cho 1 km dãy điện trên biển là 50 triệu đồng, còn trên đất liền là 30 triệu đồng. Xác định vị trí điểm M trên đoạn AB (điểm nổi dây từ đất liền ra đảo) để tổng chi phí lắp đặt là nhỏ nhất.
Đặt \(MB = x(km,0 \le x \le 10)\), khi đó, \(AM = 10 - x(\;{\rm{km}})\) và \(MC = \sqrt {M{B^2} + C{B^2}} = \sqrt {{x^2} + 16} (\;{\rm{km}})\)
Khi đó, chi phí nối điện từ \({\rm{A}}\) đến \({\rm{C}}\) là: \(f(x) = 30(10 - x) + 50\sqrt {{x^2} + 16} \) (triệu đồng)
Ta có: \({f^\prime }(x) = - 30 + \frac{{50x}}{{\sqrt {{x^2} + 16} }} = 0 \Leftrightarrow \frac{x}{{\sqrt {{x^2} + 16} }} = \frac{3}{5} \Leftrightarrow 25{x^2} = 9{x^2} + 144 \Leftrightarrow x = 3\) (do \(0 \le x \le 10\) )
Ta có: \(f(0) = 500;f(3) = 460,f(10) = 100\sqrt {29} \) nên chi phí nhỏ nhất là 460 triệu đồng khi \(x = 3\)
Vậy \(M\) cách \(B\) một khoảng \(3\;{\rm{km}}\) trên đoạn AB (diểm nối dây từ đất liền ra đảo) thì tổng chi phí lắp đặt là nhỏ nhất.