Một đường cáp điện được kéo từ một trạm điện A ở một bên sông rộng 900 mét đến một nhà máy B ở bờ bên kia của sông, nhà máy cách trạm điện 3000 mét tính xuôi theo bờ sông.
20/22
Một đường cáp điện được kéo từ một trạm điện \(A\) ở một bên sông rộng \(900\) mét đến một nhà máy \(B\) ở bờ bên kia của sông, nhà máy cách trạm điện \(3000\) mét tính xuôi theo bờ sông. Đường cáp này được mô hình hóa thành đường gấp khúc \(APB\) như hình vẽ, trong đó đoạn \(PB\) đặt trên bờ sông. Giả định rằng tỉ lệ giữa chi phí để kéo mét cáp dưới nước và chi phí kéo \(1\) mét cáp trên bờ bằng \(1,25\). Hỏi để tiết kiệm chi phí nhất thì vị trí \(P\) cách nhà máy \(B\) bao nhiêu mét?
Đáp án: 1800.
Đặt \(PH = x\,\,\left( {0 \le x \le 3000} \right)\)\( \Rightarrow \)\(PA = \sqrt {{x^2} + {{900}^2}} ;\,\,BP = 3000 - x\).
Do tỉ lệ giữa chi phí để kéo \(1\) mét cáp dưới nước và chi phí kéo \(1\) mét cáp trên bờ bằng \(1,25\)nên tổng chi phí đường cáp điện được kéo từ một trạm điện \(A\) đến một nhà máy \(B\) là
\(f\left( x \right) = PA.1,25 + PB = \sqrt {{x^2} + {{900}^2}} .1,25 + 3000 - x\) với \(0 \le x \le 3000\).
Ta có \(f'\left( x \right) = 1,25.\frac{x}{{\sqrt {{x^2} + {{900}^2}} }} - 1 = \frac{{1,25x - \sqrt {{x^2} + {{900}^2}} }}{{\sqrt {{x^2} + {{900}^2}} }}\).
\(f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \sqrt {{x^2} + {{900}^2}} = 1,25x \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge 0\\{x^2} + {900^2} = 1,5625{x^2}\end{array} \right. \Leftrightarrow x = 1200\).
Vậy để tiết kiệm chi phí nhất thì vị trí \(P\) cách nhà máy \(B\) một đoạn bằng \(3000 - 1200 = 1800\,\,\,m\)