Một đội cứu hỏa cần chuẩn bị một chiếc thang cứu hộ để có thể vượt qua một bức tường chắn cao 2,4 mét và đặt chân lên tòa nhà phía sau. Khoảng cách từ bức tường chắn đến tòa nhà là 1,5 mét.

Gọi góc hợp bởi thang và mặt đất là \(\alpha \left( {0 < \alpha  < \frac{\pi }{2}} \right)\).

Chiều dài thang là \(BC = BM + MC\).

Tam giác vuông \(MHB\) có \(BM = \frac{{2,4}}{{\sin \alpha }}\).

Tam giác vuông \(MNC\) có \(MC = \frac{{1,5}}{{\cos \alpha }}\).

Ta có \(BC = BM + MC = \frac{{2,4}}{{\sin \alpha }} + \frac{{1,5}}{{\cos \alpha }}\).

Xét hàm số \(y = \frac{{2,4}}{{\sin x}} + \frac{{1,5}}{{\cos x}}\) với \(x \in \left( {0;\frac{\pi }{2}} \right)\).

Ta có \(y' = \frac{{ - 2,4\cos x}}{{{{\sin }^2}x}} + \frac{{1,5\sin x}}{{{{\cos }^2}x}} = \frac{{ - 2,4{{\cos }^3}x + 1,5{{\sin }^3}x}}{{{{\sin }^2}x \cdot {{\cos }^2}x}}\).

Có \(y' = 0\)\( \Leftrightarrow 2,4{\cos ^3}x = 1,5{\sin ^3}x \Leftrightarrow {\tan ^3}x = \frac{{2,4}}{{1,5}} \Leftrightarrow \tan x = \sqrt[3]{{\frac{8}{5}}}\), do \(x \in \left( {0;\frac{\pi }{2}} \right)\) nên \(x \approx 0,863\) rad.

Ta có bảng biến thiên

Dựa vào bảng biến thiên, ta thấy chiều dài thang xấp xỉ 5,47 mét hay 547 cm.

Đáp án cần nhập là: 547.