Một doanh nghiệp thủy sản A ở Việt Nam chuyên xuất khẩu hải sản sang một công ty B ở nước ngoài. Hai bên đã ký kết hợp đồng: mỗi tháng phía doanh nghiệp A sẽ xuất khẩu \(x\) tấn hải sản, với

Hàm doanh thu thu được khi xuất khẩu \(x\) tấn hải sản:

\(R\left( x \right) = x \cdot P\left( x \right) = x\left( {46 - 0,002{x^2}} \right) = 46x - 0,002{x^3}\) (triệu đồng).

Hàm tổng chi phí khi xuất khẩu \(x\) tấn hải sản: \(C\left( x \right) = 140 + 31x\) (triệu đồng).

Hàm lợi nhuận \(L\left( x \right)\) đạt được: \(L\left( x \right) = R\left( x \right) - C\left( x \right) = - 0,002{x^3} + 15x - 140\) (triệu đồng).

Tìm giá trị lớn nhất của \(L\left( x \right)\) trên nửa khoảng \(\left( {0;120} \right]\):

Ta có \(L'\left( x \right) = - 0,006{x^2} + 15\); \(L'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow - 0,006{x^2} + 15 = 0 \Leftrightarrow {x^2} = 2500 \Rightarrow x = 50 \in \left( {0;120} \right]\).

Lập bảng biến thiên của hàm số \(L\left( x \right)\) trên \(\left( {0;120} \right]\), ta thấy hàm số đạt cực đại tại \(x = 50\).

Giá trị lợi nhuận cao nhất thu được là: \(L\left( {50} \right) = - 0,002 \cdot {50^3} + 15 \cdot 50 - 140 = 360\) (triệu đồng).

Đáp số: \(360\).