Một doanh nghiệp sản xuất một loại sản phẩm và khi bán hết

107/235

Một doanh nghiệp sản xuất một loại sản phẩm và khi bán hết $x, 0 < x < 2025$ sản phẩm thì tổng số tiền doanh nghiệp thu được là $2000 x - x^{2}$ (nghìn đồng) và tổng chi phí doanh nghiệp bỏ ra là $x^{2} + 1440 x + 50$ (nghìn đồng). Doanh nghiệp này phải chịu thêm mức thuế phụ thu cho mỗi đơn vị sản phẩm bán ra là $t, 0 < t < 300$ (nghìn đồng). Mức thuế phụ thu cho mỗi đơn vị sản phẩm là bao nhiêu nghìn đồng thì doanh nghiệp thu được lợi nhuận lớn nhất, đồng thời nhà nước cũng thu được số tiền thuế phụ thu lớn nhất?

Đáp án: ____

Click vào chỗ trống để nhập đáp án. Nhấn Enter để xác nhận, Esc để hủy.

Giải thích

Đáp án đúng là "280"

Phương pháp giải

Lời giải

Ta có lợi nhuận

$L\left( x \right) = \left( {2000x - {x^2}} \right) - \left( {{x^2} + 1440x + 50} \right) - tx = - 2{x^2} + \left( {560 - t} \right)x - 50$ (nghìn đồng).

$L'\left( x \right) = - 4x + \left( {560 - t} \right) = 0 \Leftrightarrow x = 140 - \frac{t}{4}$. Mà $0 < t < 300$ nên $x = 140 - \frac{t}{4} \in \left( {65;140} \right)$.

Lập bảng biến thiên:

Vậy

Xét tổng tiền thuế $T = tx = t\left( {140 - \frac{t}{4}} \right) = - \frac{{{t^2}}}{4} + 140t$.

Dễ thấy ${\rm{max}}T = T\left( { - \frac{{140}}{{2.\left( { - \frac{1}{4}} \right)}}} \right) = T\left( {280} \right)$.

Vậy $t = 280$.