Một doanh nghiệp sản xuất một loại linh kiện điện tử có hàm doanh thu được mô tả bởi công thức F(x) = x^3 − 447x^2 + 65000x + 200 000 (đồng) và hàm chi phí được mô tả bởi công thức C(x) = mx^

Xét mệnh đề a)

Chi phí sản xuất \(10\) sản phẩm là \(220\,500\) đồng nên ta có phương trình:

\(C\left( {10} \right) = m{.10^2} + n.10 + 200000 = 220500 \Leftrightarrow 10m + n = 2050\,\,\left( 1 \right)\)

Chi phí biên là đạo hàm của hàm chi phí: \(C'\left( x \right) = 2mx + n\) và tại mức sản lượng \(50\) là \(2500\) đồng nên ta có: \(C'\left( {50} \right) = 2m.50 + n = 2500 \Leftrightarrow 100m + n = 2500\,\,\left( 2 \right)\)

Giải hệ \(\left\{ \begin{array}{l}10m + n = 2050\\100m + n = 2500\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m = 5\\n = 2000\end{array} \right.\) suy ra \(200m - n =  - 1000\) nên mệnh đề a) đúng

Xét mệnh đề b)

Khi đó hàm chi phí: \(C\left( x \right) = 5{x^2} + 2000x + 200\,000\)

Hàm doanh thu: \(F\left( x \right) = {x^3} - 447{x^2} + 65\,000x + 200\,000\) có \(F'\left( x \right) = 3{x^2} - 894x + 65000 = 0\)

Giải \(F'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow 3{x^2} - 894x + 65000 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 125,89\\x = 172,1\end{array} \right.\) và có bảng biến thiên:

Xét \(F\left( {125} \right) = 3293750 < F\left( {126} \right) = 3293804\) nên doanh thu lớn nhất đạt được khi sản xuất \(126\) sản phẩm nên mệnh đề b) đúng

Xét mệnh đề c)

Hàm lợi nhuận: \(L\left( x \right) = F\left( x \right) - G\left( x \right) = {x^3} - 452{x^2} + 63000x \Rightarrow L\left( {10} \right) = 585800 \ne 600000\) nên mệnh đề c) sai

Xét mện đề d)

Ta có: \(L'\left( x \right) = 3{x^2} - 904x + 63000 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 109,43\\x = 191,90\end{array} \right.\) và ta có bảng biến thiên như sau:

Xét \(L\left( {109} \right) = 2791817 > L\left( {110} \right) = 2791800\) nên lợi nhuận lớn nhất đạt được khi sản xuất \(109\) sản phẩm nên mệnh đề d) sai