Một doanh nghiệp sản xuất độc quyền một loại sản phẩm. Giả sử khi sản xuất và bán hết x sản phẩm (0 < x ≤ 300; x ∈ N), tổng số tiền doanh nghiệp thu được là F(x) = 2500x - x^2.

Gọi \(L(x)\) là lợi nhuận của doanh nghiệp sau khi đã đóng thuế. Ta có:

\(L(x) = F(x) - G(x) - tx\)

\(L(x) = (2500x - {x^2}) - ({x^2} + 1700x - 1500) - tx\)

\(L(x) =  - 2{x^2} + (800 - t)x + 1500\)

Để tìm lợi nhuận lớn nhất của doanh nghiệp theo biến sản lượng x, ta biến đổi hàm số về dạng bình phương:

\(L(x) =  - 2\left[ {{x^2} - \frac{{800 - t}}{2}x} \right] + 1500\)

\(L(x) =  - 2\left[ {{x^2} - 2 \cdot x \cdot \frac{{800 - t}}{4} + {{\left( {\frac{{800 - t}}{4}} \right)}^2}} \right] + 2{\left( {\frac{{800 - t}}{4}} \right)^2} + 1500\)

\(L(x) =  - 2{\left( {x - \frac{{800 - t}}{4}} \right)^2} + 2{\left( {\frac{{800 - t}}{4}} \right)^2} + 1500 \le 1500 + 2{\left( {\frac{{800 - t}}{4}} \right)^2}\)

Dấu "=" xảy ra khi doanh nghiệp lựa chọn sản lượng: \(x = \frac{{800 - t}}{4}\)

Khi đó, tổng số tiền thuế Nhà nước thu được là \[T\left( t \right)\]

\(T(t) = t \cdot x = t \cdot \frac{{800 - t}}{4} = \frac{1}{4}(800t - {t^2})\)

\(T(t) =  - \frac{1}{4}({t^2} - 800t) =  - \frac{1}{4}({t^2} - 2 \cdot t \cdot 400 + {400^2}) + \frac{{{{400}^2}}}{4}\)

\(T(t) =  - \frac{1}{4}{\left( {t - 400} \right)^2} + 40\,\,000\)

Để số tiền thuế \[T\left( t \right)\] đạt giá trị lớn nhất thì:

\({(t - 400)^2} = 0 \Rightarrow t = 400\)

Với \[t = 400\], ta kiểm tra lại điều kiện:

\[t = 400\] thỏa mãn \[0 < t < 500\].

Sản lượng \[x = 4800 - 400\, = 100\] thỏa mãn \[0 < x \le 300\].

Vậy với mức thuế \[t = 400\] (nghìn đồng) thì Nhà nước thu được nhiều thuế nhất và doanh nghiệp cũng đạt lợi nhuận tốt nhất (theo mức thuế đó).