Một doanh nghiệp sản xuất độc quyền một loại sản phẩm.

Đáp án:\[284\].

Hàm số biểu thị lợi nhuận của công ty là:

\[L\left( x \right) = f\left( x \right) - g\left( x \right) - tx = - 2{x^2} + 568x + 1209 - tx\]

       \[ = - 2{x^2} + \left( {568 - t} \right)x + 1209\] (nghìn đồng) (\[0 < x \le 2500\])

Ta thấy \[L\left( x \right)\] là hàm bậc hai có hệ số của \[{x^2}\] là \[ - 2 < 0\] nên \[L\left( x \right)\] đạt giá trị lớn nhất khi:

\[x = {x_0} = \frac{{568 - t}}{4}\], với \[0 < t < 320\] thì hiển nhiên \[0 < {x_0} \le 2500\] nên \[\max L\left( x \right) = L\left( {{x_0}} \right)\].

Khi đó, số tiền thuế phụ thu mà nhà nước nhận được là:

\[h\left( t \right) = t{x_0} = \frac{{ - 1}}{4}{t^2} + 142t\] (nghìn đồng), với \[0 < t < 320\]

Hàm \[h\left( t \right)\] là hàm bậc hai có hệ số của \[{t^2}\] là \[\frac{{ - 1}}{4}\] nên \[h\left( t \right)\] đạt giá trị lớn nhất khi:

\[t = {t_0} = \frac{{ - 142}}{{2.\frac{{ - 1}}{4}}} = 284 \in \left( {0\,;\,320} \right)\]

Khi đó: \[\max h\left( t \right) = h\left( {{t_0}} \right) = \frac{{ - 1}}{4}{.284^2} + 142.284 = 20164\] (nghìn đồng)

Số sản phẩm mà doanh nghiệp sản xuất và bán hết khi đó là \[{x_0} = \frac{{568 - 284}}{4} = 71\] (sản phẩm)

Lợi nhuận lớn nhất mà doanh nghiệp nhận được khi đó là: 11 291 (nghìn đồng).

Vậy mức thuế phụ thu là 284 nghìn đồng trên một sản phẩm thoả mãn yêu cầu đề bài.