Một doanh nghiệp muốn quy hoạch một khu đất có dạng hình chữ nhật ABCD với diện tích 67500 m^2 để làm khu liên hợp thể thao. Khu đất quy hoạch ABCD được mở rộng thành một khu đất có dạng là h

a) Hình chữ nhật \[ABCD\] nội tiếp đường tròn tâm \[O\] đường kính \[AC\]

Theo định lý Pythagore cho \(\Delta DAC\) vuông tại \[D\] thì:

\(A{C^2} = D{A^2} + D{C^2} = {x^2} + {y^2}\) nên \(AC = \sqrt {{x^2} + {y^2}} \) (m).

Bán kính của hình tròn đường kính \[AC\] là: \(R = \frac{{AC}}{2} = \frac{{\sqrt {{x^2} + {y^2}} }}{2}{\rm{ (m)}}\)

Diện tích của hình tròn đường kính \[AC\] là:

\({S_{{\rm{tron}}}} = \pi  \cdot {R^2} = \pi  \cdot {\left( {\frac{{\sqrt {{x^2} + {y^2}} }}{2}} \right)^2} = \frac{\pi }{4}\left( {{x^2} + {y^2}} \right)\) (m2).

Diện tích phần đất làm khu sinh thái là:

\(S = {S_{{\rm{tron}}}} - {S_{{\rm{ABCD}}}} = \frac{\pi }{4}\left( {{x^2} + {y^2}} \right) - 67500\) (m2).

b) Bài toán trở thành: Cho \(x;y \in \mathbb{N}\) thỏa mãn \(xy = 67500\). Tìm giá trị nhỏ nhất của S.

Không mất tính tổng quát, giả sử \(x \le y\)

Khi đó, \({x^2} \le xy = 67500\) nên \(x \le \sqrt {67500}  = 259,807...\)

Vì \(x \in \mathbb{N}\) nên \(x \le 259\) Mà \(x \in \)Ư\(\left( {67500} \right)\) nên \(x \le 250\) (vì các số 251; 252; 253;.; 259 đều không là ước của 67500)

\({\rm{Suy ra }}y = \frac{{67500}}{x} \ge \frac{{67500}}{{250}} = 270\)

Do đó, ta có bất đẳng thức:

\(\left( {x - 250} \right)\left( {y - 250} \right) \le 0\)

\(xy - 250\left( {x + y} \right) + 62500 \le 0\)

\(250\left( {x + y} \right) \ge 67500 + 62500 = 130000\)

\(x + y \ge 520\)

Suy ra \({x^2} + {y^2} = {\left( {x + y} \right)^2} - 2xy \ge {520^2} - 2 \cdot 67500 = 135400\)

\({\rm{N\^e n }}S \ge 135400 \cdot \frac{\pi }{4} - 67500 = 33850\pi  - 67500\) (m2)

Dấu “=” xảy ra khi \(x = 250\) và \(y = 270\).

Khi đó, chu vi của mảnh đất \[ABCD\] là \(2\left( {x + y} \right) = 2 \cdot \left( {250 + 270} \right) = 1040\) (m).