Một doanh nghiệp kinh doanh sản xuất đồng hồ có đồ thị hàm tổng chi phí theo số sản phẩm, là một phần của đồ thị của hàm số f ( x ) = (ax^2 + bx + c )/(2x + e) như hình vẽ (mỗi đơn vị trên t
14/22
Một doanh nghiệp kinh doanh sản xuất đồng hồ có đồ thị hàm tổng chi phí theo số sản phẩm, là một phần của đồ thị của hàm số \[f\left( x \right) = \frac{{a{x^2} + bx + c}}{{2x + e}}\]như hình vẽ (mỗi đơn vị trên trục hoành tương ứng với 100 sản phẩm, mỗi đơn vị trên trục tung tương ứng với 1000 USD). Biết rằng tâm đối xứng của đồ thị hàm số đó là điểm \[I\left( { - \frac{1}{2};1} \right)\]và đường tiệm cận xiên của đồ thị đó đi qua điểm B(3;2)
Hàm số nghịch biến trên khoảng \[\left( { - \frac{1}{2};0} \right)\].
Hàm số có thể viết lại dưới dạng \[f\left( x \right) = \frac{2}{7}\left( {x + 4} \right) + \frac{d}{{2x + 1}}\] , với d là số thực thuộc \[R\].
Đồ thị hàm số có đường tiệm cận đứng là \[x = \frac{1}{2}\].
Theo khảo sát, tổng doanh thu của doanh nghiệp này được mô tả bằng hàm số \[R\left( x \right) = {x^2} + 2{\rm{x}}\]và lợi nhuận thu về khi bán 200 sản phẩm là 5250 USD. Khi chi phí theo số sản phẩm đạt giá trị nhỏ nhất, số sản phẩm sản xuất được (làm tròn đến hàng đơn vị) là 325 sản phẩm.
a)Đúng; b) Đúng; c) Sai; d) Sai.
Gọi đường tiệm cận xiên của đồ thị hàm số \[f(x)\] là \[y = {\rm{ax + b}}\]
Theo giả thiết ta có: \[\left\{ \begin{array}{l} - \frac{1}{2}a + b = 1\\3{\rm{a}} + b = 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = \frac{2}{7}\\b = \frac{8}{7}\end{array} \right.\]
Suy ra cận xiên của hàm số có dạng \[y = \frac{2}{7}\left( {x + 4} \right)\]
Hàm số \[f\left( x \right) = \frac{{a{x^2} + bx + c}}{{2x + e}}\]được viết lại dưới dạng \[f\left( x \right) = \frac{2}{7}\left( {x + 4} \right) + \frac{d}{{2x + 1}}\]
Lợi nhận = Doanh thu – Chi phí \[P\left( x \right) = R\left( x \right) - f\left( x \right) = {x^2} + 2{\rm{x - }}\frac{2}{7}\left( {x + 4} \right) - \frac{d}{{2x + 1}}\]
Theo giả thiết lợi nhận thu về khi bán 200 sản phẩm bằng 5250USD.
Khi đó \[P\left( 2 \right) = 5,25 \Leftrightarrow \frac{{44}}{7} - \frac{d}{5} = 5,25 \Leftrightarrow \]\[d = \frac{{145}}{{28}}\]
Vậy \[f\left( x \right) = \frac{2}{7}\left( {x + 4} \right) + \frac{{145}}{{28}}.\frac{1}{{2x + 1}}\] có đạo hàm \[f'\left( x \right) = \frac{2}{7} - \frac{{290}}{{28{{\left( {2x + 1} \right)}^2}}} = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{{\sqrt {145} - 2}}{4}(nhan)\\x = \frac{{ - \sqrt {145} - 2}}{4}(loai)\end{array} \right.\]
Bảng biến thiên
\(x\) | \(0\) | \(\frac{{\sqrt {145} - 2}}{4}\) |
|
| \( + \infty \) |
\(f'\left( x \right)\) |
| - 0 + |
|
|
|
\(f\left( x \right)\)
|
|
|
|
| \( + \infty \)
|
Vậy số sản phẩm khi chi phí đạt giá trị nhỏ nhất là \(\frac{{\sqrt {145} - 2}}{4}.100 \approx 251\) sản phẩm.