Một doanh nghiệp kinh doanh sản xuất đồng hồ có đồ thị hàm tổng chi phí theo số sản phẩm là một phần đồ thị của hàm số \(f\left( x \right) = \frac{{a{x^2} + bx + c}}{{x + 1}}\) (\(x > 0\))
11/22
Một doanh nghiệp kinh doanh sản xuất đồng hồ có đồ thị hàm tổng chi phí theo số sản phẩm là một phần đồ thị của hàm số \(f\left( x \right) = \frac{{a{x^2} + bx + c}}{{x + 1}}\) (\(x > 0\)) như hình vẽ (mỗi đơn vị trên trục hoành tương ứng 100 sản phẩm và mỗi đơn vị trên trục tung tương ứng 1000USD).
Biết rằng đường tiệm cận xiên của đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) đi qua hai điểm \(A\left( {1;\frac{4}{3}} \right)\) và \(B\left( {3;2} \right)\). Theo khảo sát, tổng doanh thu của doanh nghiệp này được mô tả bởi hàm số \(R\left( x \right) = {x^2} + 2x\) và lợi nhuận thu về khi bán 200 sản phẩm bằng 5250 USD. Tìm tổng chi phí (nghìn đô) khi doanh nghiệp sản xuất 300 sản phẩm? (Kết quả làm tròn đến hàng phần trăm)
21,81.
2,53.
2,81.
23,53.
Đường tiệm cận xiên có dạng \(y = px + q\). Do nó đi qua \(A\left( {1;\frac{4}{3}} \right)\) và \(B\left( {3;2} \right)\) nên:
\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{p + q = \frac{4}{3}}\\{3p + q = 2}\end{array}} \right. \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{2p = \frac{2}{3} \Rightarrow p = \frac{1}{3}}\\{q = 1}\end{array}} \right. \Rightarrow y = \frac{1}{3}x + 1\).
Xác định các hệ số của hàm số \(f\left( x \right)\):
Ta có: \(f\left( x \right) = \frac{{a{x^2} + bx + c}}{{x + 1}} = ax + \left( {b - a} \right) + \frac{{c - b + a}}{{x + 1}}\).
Tiệm cận xiên của đồ thị hàm số là \(y = ax + \left( {b - a} \right)\). Đối chiếu với phương trình \(y = \frac{1}{3}x + 1\), ta được:
\(a = \frac{1}{3}\quad {\rm{v\`a }}\quad b - a = 1 \Rightarrow b = \frac{4}{3}\).
Hàm chi phí trở thành: \(f\left( x \right) = \frac{{\frac{1}{3}{x^2} + \frac{4}{3}x + c}}{{x + 1}}\).
Vì mỗi đơn vị trên trục hoành tương ứng với 100 sản phẩm, nên bán 200 sản phẩm tương ứng với \(x = 2\).
Mỗi đơn vị trên trục tung tương ứng với 1000 USD. Lợi nhuận thu về khi bán 200 sản phẩm bằng 5250 USD, tương đương \(5,25\) nghìn USD.
Hàm lợi nhuận: \(P\left( x \right) = R\left( x \right) - f\left( x \right)\).
Với \(x = 2\) thì \(P\left( 2 \right) = R\left( 2 \right) - f\left( 2 \right) = 5,25\) và \(R\left( 2 \right) = {2^2} + 2 \cdot 2 = 8\).
\( \Rightarrow f\left( 2 \right) = R\left( 2 \right) - P\left( 2 \right) = 8 - 5,25 = 2,75\).
Thế \(x = 2\) vào công thức của \(f\left( x \right)\):
\(f\left( 2 \right) = \frac{{\frac{1}{3} \cdot {2^2} + \frac{4}{3} \cdot 2 + c}}{{2 + 1}} = \frac{{\frac{4}{3} + \frac{8}{3} + c}}{3} = \frac{{4 + c}}{3}\)\( \Rightarrow \frac{{4 + c}}{3} = 2,75 \Rightarrow 4 + c = 8,25 \Rightarrow c = 4,25\).
Tính chi phí khi sản xuất 300 sản phẩm (\(x = 3\)):
\(f\left( 3 \right) = \frac{{\frac{1}{3} \cdot {3^2} + \frac{4}{3} \cdot 3 + 4,25}}{{3 + 1}} = \frac{{3 + 4 + 4,25}}{4} = \frac{{11,25}}{4} = 2,8125\) (nghìn USD).
Làm tròn đến hàng phần trăm ta được \(2,81\) nghìn USD.
Chọn đáp án: C.