Một doanh nghiệp kinh doanh một loại sản phẩm T được sản xuất trong nước. Qua nghiên cứu thấy rằng nếu chi phí sản xuất mỗi sản phẩm T là x ( $ ) thì số sản phẩm T các nhà má

18/22

Một doanh nghiệp kinh doanh một loại sản phẩm \[T\] được sản xuất trong nước. Qua nghiên cứu thấy rằng nếu chi phí sản xuất mỗi sản phẩm \[T\] là \[x\](\[\$ \]) thì số sản phẩm \[T\] các nhà máy sản xuất sẽ là \[R(x) = x - 200\] và số sản phẩm \[T\]mà doanh nghiệp bán được trên thị trường trong nước sẽ là \[Q(x) = 4200 - x\]. Số sản phẩm còn dư doanh nghiệp xuất khẩu ra thị trường quốc tế với giá bán mỗi sản phẩm ổn định trên thị trường quốc tế là \[{x_0} = 3200\]\[\$ \]. Nhà nước đánh thuế trên mỗi sản phẩm xuất khẩu là \[a\](\[\$ \]) và luôn đảm bảo tỉ lệ giữa lãi xuất khẩu của doanh nghiệp và thuế thu được của nhà nước tương ứng là \[4:1\]. Hãy xác định giá trị của \[a\] biết lãi mà doanh nghiệp thu được do xuất khẩu là nhiều nhất.

Giải thích

Theo bài ta tính được số sản phẩm xuất khẩu là:

\[E(x) = R(x) - Q(x) = (x - 200) - (4200 - x) = 2x - 4400\] (sản phẩm)

Với điều kiện để có xuất khẩu: \[2x - 4400 > 0 \Rightarrow x > 2200\]

Lại có: Giá bán của mỗi sản phẩm xuất khẩu là \[{x_0} = 3200\]

Chi phí sản xuất mỗi sản phẩm là \[x\]

Thuế xuất khẩu mỗi sản phẩm là \[a\]

\[ \Rightarrow \]lãi trên mỗi sản phẩm xuất khẩu là \[3200 - x - a\](\[\$ \])

\[ \Rightarrow \]Tổng lãi xuất khẩu của doanh nghiệp là: \[L = (3200 - x - a)(2x - 4400)\]

Và tổng thuế nhà nước thu được là: \[T = a(2x - 4400)\]

Theo bài ta có tỉ lệ giữa lãi xuất khẩu của doanh nghiệp và thuế thu được của nhà nước tương ứng là \[4:1\] nên \[\frac{L}{T} = \frac{4}{1}\]\[ \Rightarrow \] \[\frac{{(3200 - x - a)(2x - 4400)}}{{a(2x - 4400)}} = \frac{4}{1}\]

Vì \[2x - 4400 > 0\] nên ta thu được \[\frac{{3200 - x - a}}{a} = \frac{4}{1}\]\[ \Rightarrow \]\[3200 - x - a = 4a\]\[ \Rightarrow \]\[a = \frac{{3200 - x}}{5}\]

Thay vào L ta thu được: \[L(x) = \left( {3200 - x - \frac{{3200 - x}}{5}} \right)\left( {2x - 4400} \right)\]

\[ \Rightarrow L(x) = \frac{4}{5}\left( {3200 - x} \right)\left( {2x - 4400} \right)\]\[ \Rightarrow L(x) = \frac{4}{5}\left( { - 2{x^2} + 10800x - 14080000} \right)\]

Hàm số \[L(x)\]là một tam thức bậc hai theo \[x\] với hệ số của \[{x^2}\] âm nên \[L(x)\]đạt giá trị lớn nhất tại đỉnh của Parabol

Hoành độ của tọa độ đỉnh là: \[x = \frac{{ - b}}{{2a}} = \frac{{10800}}{4} = 2700\](vì hệ số \[\frac{4}{5} > 0\] không làm thay đổi vị trí điểm cực đại)

Suy ra: Để lãi mà doanh nghiệp thu được do xuất khẩu là nhiều nhất thì giá trị của \[a\] là:

\[a = \frac{{3200 - 2700}}{5} = 100\](\[\$ \])