Một doanh nghiệp dự định sản xuất không quá 400 sản phẩm. Nếu doanh nghiệp sản xuất x sản phẩm (1 ≤ x ≤ 400) thì doanh thu nhận được khi bán hết số sản phẩm là F(x) = x^3 − 1999x^2 + 1001000x

19/22

Một doanh nghiệp dự định sản xuất không quá $400$ sản phẩm. Nếu doanh nghiệp sản xuất $x$ sản phẩm $\left( {1 \le x \le 400} \right)$ thì doanh thu nhận được khi bán hết số sản phẩm là $F\left( x \right) = {x^3} - 1999{x^2} + 1001000x + 250000$ (đồng). Trong đó, chi phí vận hành máy móc cho mỗi sản phẩm là $G\left( x \right) = \frac{{100000x}}{{\frac{3}{2}x + 1}}$ (đồng). Tổng chi phí mua nguyên vật liệu là $H\left( x \right) = 2{x^3} + 100000x - 50000$ (đồng)., nhưng do doanh nghiệp mua với số lượng lớn nên được ưu đãi giảm $1\% $ cho 200 sản phẩm đầu tiên và giảm $2\% $ cho các sản phẩm tiếp theo. Doanh nghiệp cần sản xuất bao nhiêu sản phẩm để lợi nhuận thu được là lớn nhất?

Nhập câu trả lời ở đây

Giải thích

Đáp án: 253.

Chi phí vận hành máy móc cho $x$ sản phẩm là

$V\left( x \right) = xG\left( x \right) = x \cdot \frac{{100000x}}{{\frac{3}{2}x + 1}} = \frac{{100000{x^2}}}{{1,5x + 1}}$ (đồng).

Chi phí mua nguyên vật liệu(đồng) là

$N (x) = \{\begin{cases} 0,99 {(2 x^{3} + 100000 x - 50000)}^{} {^{}}^{} {^{}}^{} {^{}}^{} {^{}}^{} {^{}}^{} {^{}}^{} {^{}}^{} {^{}}^{} {^{}}^{} {^{}}^{}^{} {khi}^{} 1 \leq x \leq 200 \\ 0,99 \cdot H (200) + 0,98 {[2 {(x - 200)}^{3} + 100000 (x - 200) - 50000]}^{} {khi}^{} 200 < x \leq 400 \end{cases}$

Lợi nhuận của doanh nghiệp là $L\left( x \right) = F\left( x \right) - V\left( x \right) - N\left( x \right)$.

l Nếu $1 \le x \le 200$ thì

$L\left( x \right) = {x^3} - 1999{x^2} + 1001000x + 250000 - \frac{{100000{x^2}}}{{1,5x + 1}} - 0,99\left( {2{x^3} + 100000x - 50000} \right)$.

$L'\left( x \right) = 3{x^2} - 3998x + 1001000 - \frac{{150000{x^2} + 200000x}}{{{{\left( {1,5x + 1} \right)}^2}}} - 5,94{x^2} - 99000$.

$L'\left( x \right) = 0 \Rightarrow x \approx 184$.

Vậy doanh nghiệp cần sản xuất khoảng 253 sản phẩm để lợi nhuận thu được là lớn nhất. (ảnh 1)

Theo bảng biến thiên, ta có $L{\left( x \right)_{\max }} \approx 80262062$ (đồng) khi $x \approx 184$ (sản phẩm).

l Nếu $200 < x \le 400$ thì

$\begin{array}{l} L (x) = x^{3} - 1999 x^{2} + 1001000 x + 250000 - \frac{100000 x^{2}}{1,5 x + 1} - 0,99 \cdot H (200) \\ {^{}}^{} {^{}}^{} {^{}}^{} {^{}}^{}^{} - 0,98 [2 {(x - 200)}^{3} + 100000 (x - 200) - 50000] \end{array}$

$L'\left( x \right) = 3{x^2} - 3998x + 1001000 - \frac{{150000{x^2} + 200000x}}{{{{\left( {1,5x + 1} \right)}^2}}} - 0,98\left[ {6{{\left( {x - 200} \right)}^2} + 100000} \right]$.

$L'\left( x \right) = 0 \Rightarrow x \approx 253$.

Vậy doanh nghiệp cần sản xuất khoảng 253 sản phẩm để lợi nhuận thu được là lớn nhất. (ảnh 2)

Theo bảng biến thiên, ta có $L{\left( x \right)_{\max }} \approx 83893648$ (đồng) khi $x \approx 253$ (sản phẩm).

Vậy doanh nghiệp cần sản xuất khoảng 253 sản phẩm để lợi nhuận thu được là lớn nhất.