Một doanh nghiệp dự định sản xuất không quá 400 sản phẩm. Nếu doanh nghiệp sản xuất x sản phẩm (1 ≤ x ≤ 400) thì doanh thu nhận được khi bán hết số sản phẩm đó là F(x) = x^3 − 1999x^2 + 10010

35/40

Một doanh nghiệp dự định sản xuất không quá 400 sản phẩm. Nếu doanh nghiệp sản xuất \(x\) sản phẩm \(\left( {1 \le x \le 400} \right)\) thì doanh thu nhận được khi bán hết số sản phẩm đó là \(F\left( x \right) = {x^3} - 1999{x^2} + 1001000x + 250000\) (đồng). Trong đó chi phí vận hành máy móc cho mỗi sản phẩm là \(G\left( x \right) = \frac{{100000x}}{{\frac{3}{2}x + 1}}\) (đồng). Tổng chi phí mua nguyên vật liệu là \(H\left( x \right) = 2{x^3} + 100000x - 50000\) (đồng) nhưng do doanh nghiệp đó mua nguyên vật liệu với số lượng lớn nên được giảm \(1\% \) cho 200 sản phẩm đầu tiên doanh nghiệp sản xuất và giảm \(2\% \) cho sản phẩm tiếp theo. Doanh nghiệp cần sản xuất bao nhiêu sản phẩm để lợi nhuận thu được là lớn nhất?

Đáp án: ____

Click vào chỗ trống để nhập đáp án. Nhấn Enter để xác nhận, Esc để hủy.

Giải thích

Giả sử lợi nhuận thu được của doanh nghiệp sau khi sản xuất và bán được \(x\) sản phẩm là \(T\left( x \right)\)

Khi đó hàm \(T\left( x \right)\) được biểu diễn:

\(T\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}F\left( x \right) - xG\left( x \right) - 0,99 \cdot H\left( x \right){\rm{ khi }}1 \le x \le 200\\F\left( x \right) - xG\left( x \right) - 0,99 \cdot H\left( {200} \right) - 0,98 \cdot H\left( {x - 200} \right){\rm{ khi }}200 \le x \le 400\end{array} \right.\)

Trường hợp 1: \(1 \le x \le 200\)

\(T\left( x \right) = {x^3} - 1999{x^2} + 1001000x + 250000 - x\frac{{100000x}}{{\frac{3}{2}x + 1}} - 0,99\left( {2{x^3} + 100000x - 50000} \right)\).

\(T'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow x = 259\), suy ra \({T_{\max }} = T\left( {200} \right) \approx 79610463\).

Trường hợp 2: \(200 \le x \le 400\)

\(\begin{array}{l}T\left( x \right) = {x^3} - 1999{x^2} + 1001000x + 250000 - x\frac{{100000x}}{{\frac{3}{2}x + 1}} - 35590500\\ - 0,99\left[ {2{{\left( {x - 200} \right)}^3} + 100000\left( {x - 200} \right) - 50000} \right]\end{array}\)

\(T'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow x = 253\), suy ra \({T_{\max }} = T\left( {253} \right) \approx 83893648\).

Ta thấy \(T\left( {253} \right) > T\left( {200} \right)\) nên doanh thu lớn nhất khi sản xuất được 253 sản phẩm.

Đáp án cần nhập là: 235.