Một doanh nghiệp dự định sản xuất không quá 200 đơn vị sản phẩm. Nếu doanh nghiệp sản xuất x đơn vị sản phẩm ( 1 ≤ x ≤ 200 ) thì giá bán của mỗi đơn vị sản phẩm là f ( x ) = 435 − 2x (t

Trả lời: 125.

Gọi \(x\) là số đơn vị sản phẩm được sản xuất (\(1 \le x \le 200\)).

Giá bán của mỗi đơn vị sản phẩm là \(f(x) = 435 - 2x\) (triệu đồng).

Tổng doanh thu khi sản xuất \(x\) đơn vị sản phẩm là: \(R(x) = x \cdot f(x) = 435x - 2{x^2}\)(triệu đồng).
Chi phí sản xuất bình quân cho một đơn vị sản phẩm là

\(g(x) = \frac{{0,7{x^2}}}{{125}} - 1,706x + 96,5 + \frac{{6375}}{x}\) (triệu đồng).

Tổng chi phí sản xuất khi sản xuất \(x\) đơn vị sản phẩm là:

\({C_P}(x) = x \cdot g(x) = \frac{{0,7{x^3}}}{{125}} - 1,706{x^2} + 96,5x + 6375\) (triệu đồng).

Mức thuế cho một đơn vị sản phẩm là \(2,5\) triệu đồng.

Tổng tiền thuế khi sản xuất \(x\) đơn vị sản phẩm là: \({C_T}(x) = 2,5x\) (triệu đồng).

Tổng chi phí (bao gồm chi phí sản xuất và thuế) khi sản xuất \(x\) đơn vị sản phẩm là:

\(C(x) = {C_P}(x) + {C_T}(x)\)\( = \frac{{0,7{x^3}}}{{125}} - 1,706{x^2} + 99x + 6375\) (triệu đồng).

Hàm lợi nhuận \(P(x)\) là hiệu giữa tổng doanh thu và tổng chi phí: \(P(x) = R(x) - C(x)\)

\( \Rightarrow P(x) =  - 0,0056{x^3} - 0,294{x^2} + 336x - 6375\).
Để tìm lợi nhuận lớn nhất, ta cần tìm giá trị lớn nhất của hàm \(P(x)\) trên đoạn \([1;200]\).

\(P'(x) =  - 0,0168{x^2} - 0,588x + 336\).
Cho \(P'(x) = 0\)\( \Rightarrow  - 0,0168{x^2} - 0,588x + 336 = 0\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{x_1} \approx  - 160\\{x_2} \approx 125\end{array} \right.\). Vì \(x \ge 1\) nên \({x_2} \approx 125\) thỏa mãn.

Giá trị \(x = 125\) nằm trong đoạn \([1;200]\).

Tính giá trị của \(P(x)\) tại các điểm \(x = 1\), \(x = 125\), \(x = 200\):

\(P(1) =  - 0,0056{(1)^3} - 0,294{(1)^2} + 336(1) - 6375 \approx  - 6039,2996\).
\(P(125) =  - 0,0056{(125)^3} - 0,294{(125)^2} + 336(125) - 6375\)\( \approx 20093,75\).
\(P(200) =  - 0,0056{(200)^3} - 0,294{(200)^2} + 336(200) - 6375\)\( \approx 4265\).
So sánh các giá trị \(P(1)\), \(P(125)\), \(P(200)\), ta thấy giá trị lớn nhất là \(P(125) = 20093,75\).

Vậy, để lợi nhuận thu được lớn nhất, doanh nghiệp cần sản xuất \(125\) đơn vị sản phẩm.