Một đoạn đường đi từ điểm A đến điểm B nhưng bị vướng một ngọn núi. Nhà đầu tư thực hiện phương án xây dựng đường tránh từ A đến M, từ M đến N và sau đó mới đến B. Biết rằng AM = 3,2 km; MN =
16/19
Một đoạn đường đi từ điểm \(A\) đến điểm \(B\) nhưng bị vướng một ngọn núi. Nhà đầu tư thực hiện phương án xây dựng đường tránh từ \(A\) đến \(M\), từ \(M\) đến \(N\) và sau đó mới đến \(B\). Biết rằng \(AM = 3,2{\rm{km}}\); \(MN = 5,5{\rm{km}}\), \(NB = 3,6{\rm{km}}\), \(\alpha = {140^ \circ }\) và \(\beta = {145^ \circ }\) (với \(\alpha = \widehat {AMN}\), \(\beta = \widehat {MNB}\)). Các phát biểu sau đây đúng hay sai? 
Độ dài cạnh \(AN \approx 3,68{\rm{km}}\) (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm).
Số đo của góc \(\widehat {ANM}\) bé hơn \({15^ \circ }\).
Độ dài cạnh \(MB \approx 8,7{\rm{km}}\) (làm tròn đến hàng phần mười).
Giả sử nhà đầu tư dự định phương án đường hầm xuyên qua núi đi thẳng từ \(A\) đến \(B\) (chi phí cao và sẽ có thu phí). Một người đi xe với vận tốc trung bình \(80{\rm{km/h}}\) trong đường hầm và vận tốc trung bình \(40{\rm{km/h}}\) trên đường tránh. Thời gian đi từ \(A\) đến \(B\) bằng đường hầm sẽ tiết kiệm một khoảng thời gian \(10\) phút (làm tròn đến hàng đơn vị phút).
a) Sai. Xét tam giác \(AMN\) có \(AM = 3,2{\rm{km}}\); \(MN = 5,5{\rm{km}}\), \(\widehat {AMN} = \alpha = {140^ \circ }\), áp dụng định lý cosin cho tam giác ta có:
\(A{N^2} = A{M^2} + M{N^2} - 2.AM.MN.\cos \alpha \)
\( \Rightarrow AN = \sqrt {{{\left( {3,2} \right)}^2} + {{\left( {5,5} \right)}^2} - 2.\left( {3,2} \right).\left( {5,5} \right).\cos {{140}^ \circ }} \approx 8,21\left( {{\rm{km}}} \right).\)
b) Đúng. Xét tam giác \(AMN\) có \(AM = 3,2{\rm{km}}\); \(MN = 5,5{\rm{km}}\); \(AN \approx 8,21{\rm{km}}\) ta có:
\(\cos \widehat {MNA} = \frac{{M{N^2} + N{A^2} - A{M^2}}}{{2.NM.NA}} \approx 0,968 \Rightarrow \widehat {MNA} \approx {14,55^ \circ } < {15^ \circ }.\)
c) Đúng. Xét tam giác \(MNB\) có \(NB = 3,6{\rm{km}}\), \(MN = 5,5{\rm{km}}\); \(\widehat {MNB} = \beta = {145^ \circ }\), áp dụng định lý cosin cho tam giác ta có:
\(M{B^2} = N{M^2} + B{N^2} - 2.NM.BN.\cos \beta \)
\( \Rightarrow MB = \sqrt {{{\left( {3,6} \right)}^2} + {{\left( {5,5} \right)}^2} - 2.\left( {3,6} \right).\left( {5,5} \right).\cos {{145}^ \circ }} \approx 8,7\left( {{\rm{km}}} \right).\)
d) Sai. Ta có: \(\widehat {ANB} = \widehat {MNB} - \widehat {MNA} \approx {145^ \circ } - {14,55^ \circ } = {130,45^ \circ }\)
Xét tam giác \(ANB\) có \(NB = 3,6{\rm{km}}\); \(AN = 8,21{\rm{km}}\), \(\widehat {ANB} \approx {130,45^ \circ }\), áp dụng định lý cosin ta có:
\(A{B^2} = A{N^2} + N{B^2} - 2.AN.NB.cos\widehat {ANB}\)
\(AB = \sqrt {{{\left( {8,21} \right)}^2} + {{\left( {3,6} \right)}^2} - 2.\left( {8,21} \right).\left( {3,6} \right).\cos {{130,45}^ \circ }} \approx 11,37\left( {{\rm{km}}} \right).\)
Khi đó, thời gian người đó đi hết quãng đường \(AB\) bằng đường hầm là:
\({t_1} = \frac{S}{v} = \frac{{11,37}}{{80}} \approx 0,1422\left( {\rm{h}} \right) \approx 9{\rm{\;(ph\'u t)}}.\)
Nếu đi từ \(A\) đến \(B\) bằng đường tránh thì quãng đường người đó phải đi là:
\(3,2 + 5,5 + 3,6 = 12,3\left( {{\rm{km}}} \right).\)
Do đó thời gian đi hết quãng đường này là:
\({t_2} = \frac{{12,3}}{{40}} = 0,3075\left( {\rm{h}} \right) \approx 18{\rm{\;(ph\'u t)}}.\)
Vậy nếu đi bằng đường xuyên núi sẽ nhanh hơn đi đường tránh một khoảng thời gian là:
\(18 - 9 = 9{\rm{\;(ph\'u t)}}.\)