Một đồ vật trang trí bằng thủy tinh có dạng hình chóp tam giác đều với tất cả các cạnh (cả cạnh bên và cạnh đáy) đều dài 12 cm. Tính thể tích của đồ vật trang trí đó

Ta có hình chóp tam giác đều \(S.ABC\) minh họa hình ảnh đồ vật trang trí bằng thủy tinh như hình vẽ. Trong đó,độ dài tất cả các cạnh \(SA = SB = SC = AB = BC = CA = 12\) cm.

Gọi \(O\) là trọng tâm của tam giác đều\(ABC\), suy ra \(SO\)là chiều cao của hình chóp.

Gọi \(H\) là trung điểm của \(AB\), suy ra \(AH = HB = \frac{{AB}}{2} = 6\) (cm).

Xét \(\Delta ABC\) đều ta cũng có \(CH\) là đường trung tuyến ứng đồng thời là đường cao của tam giác.

Áp dụng định lí Pythagore cho \(\Delta CHB\)vuông tại\(H\) ta có:

\(C{H^2} + H{B^2} = B{C^2}\) hay \(CH = \sqrt {B{C^2} - B{H^2}} = \sqrt {{{12}^2} - {6^2}} = 6\sqrt 3 \) (cm).

Do \(O\) là trọng tâm của \(\Delta ABC\) nên \(CO = \frac{2}{3}CH = \frac{2}{3} \cdot 6\sqrt 3 = 4\sqrt 3 \) (cm).

Tương tự áp dụng định lí Pythagore cho\(\Delta SOC\) vuông ở \(O\) ta tính được \(SO = 4\sqrt 6 \) (cm).

Diện tích đáy của hình chóp \(S.ABC\) là:

\(S = \frac{1}{2}CH \cdot AB = \frac{1}{2} \cdot 6\sqrt 3 \cdot 12 = 36\sqrt 3 \) (cm²).

Thể tíchcủa đồ vật trang trí đó là:

\(V = \frac{1}{3}S \cdot h = \frac{1}{3} \cdot 36\sqrt 3 \cdot 4\sqrt 6 = 144\sqrt 2 \approx 203,6\) (cm³).

Đáp án: 203,6.