Hướng dẫn giải

(1,5 điểm) Cho tam giác A B C có D là trung điểm của B C . Trên tia đối của tia D A lấy điểm E sao cho D là trung điểm của A E . a) Chứng minh Δ A D B = Δ E D C . b) Chứng minh A C ∥ B E . c) Kẻ A H vuông góc với B C tại H , A H cắt B E tại M , kẻ E I vuông góc với B C tại I , E I cắt A C tại N . Chứng minh ba điểm M , D , N thẳng hàng. (ảnh 1)

a) Xét \(\Delta ADB\) và \(\Delta EDC\), có:

\(AD = DE\) (gt)

\(\widehat {ADB} = \widehat {CDE}\) (đối đỉnh)

\(BD = DC\) (gt)

Do đó, \(\Delta ADB = \Delta EDC\) (c.g.c)

b) Xét \(\Delta ADC\) và \(\Delta EDB\), có:

\(AD = DE\) (gt)

\(\widehat {ADC} = \widehat {BDE}\) (đối đỉnh)

\(BD = DC\) (gt)

Do đó, \(\Delta ADC = \Delta EDB\) (c.g.c)

Suy ra \(\widehat {BED} = \widehat {DAC}\) (hai góc tương ứng).

Mà hai góc ở vị trí so le trong nên \(AC\parallel BE.\)

c) Xét \(\Delta HBA\) và \(\Delta ICE\), có:

\(AB = EC{\rm{ }}\left( {\Delta ADB = \Delta EDC} \right)\)

\(\widehat {AHB} = \widehat {EIC} = 90^\circ \) (gt)

\(\widehat {ABH} = \widehat {ICE}{\rm{ }}\left( {\Delta ADB = \Delta EDC} \right)\)

Do đó, \(\Delta HBA = \Delta ICE\) (ch – gn)

Suy ra \(BH = IC\) (hai cạnh tương ứng).

Xét \(\Delta HBM\) và \(\Delta ICN,\) có:

\(BH = IC\) (cmt)

\(\widehat {BHM} = \widehat {NIC} = 90^\circ \) (gt)

\(\widehat {MBH} = \widehat {ICN}\) (so le trong)

Do đó, \(\Delta HBM = \Delta ICN\) (cgv – gn)

Suy ra \(BM = NC\) (hai cạnh tương ứng)

Xét \(\Delta BDM\) và \(\Delta CDN\), có:

\(BM = CN\) (cmt)

\(BD = DC\) (gt)

\(\widehat {MBD} = \widehat {DCN}\) (so le trong)

Do đó, \(\Delta BDM = \Delta CDN\) (c.g.c)

Suy ra \(\widehat {BDM} = \widehat {CDN}\) (hai cạnh tương ứng)

Ta có, \(\widehat {BDM}\) và \(\widehat {CDM}\) là hai góc kề bù nên \(\widehat {BDM} + \widehat {CDM} = 180^\circ \).

Mà \(\widehat {BDM} = \widehat {CDN}\) (cmt) suy ra \(\widehat {CDN} + \widehat {CDM} = 180^\circ \) hay \(\widehat {NDM} = 180^\circ \).

Suy ra ba điểm \(D,M,N\) thẳng hàng.

Một định lí gồm