Một dây dẫn có tiết diện ngang \(1,2m{m^2}\), điện trở suất \(1,{7.10^{ - 8}}{\rm{\Omega }}m\) được uốn thành nửa vòng tròn tâm \(O\) bán kính 24 cm như hình vẽ. Hai đoạn dây dẫn OM và OP cùn
26/28
Một dây dẫn có tiết diện ngang \(1,2m{m^2}\), điện trở suất \(1,{7.10^{ - 8}}{\rm{\Omega }}m\) được uốn thành nửa vòng tròn tâm \(O\) bán kính 24 cm như hình vẽ. Hai đoạn dây dẫn OM và OP cùng loại với dây trên. Dây OM cố định, dây OP quay quanh \(O\) sao cho \(P\) luôn tiếp xúc với cung tròn. Hệ thống đặt trong từ trường đều có độ lớn cảm ứng từ \(0,15{\rm{\;T}}\) có hướng vuông góc với mặt phẳng chứa nửa vòng tròn. Tại thời điểm ban đầu OP trùng với OM và tốc độ góc tăng đều theo thời gian. Góc \(\alpha = POM\) mà bán kính OP quét được trong khoảng thời gian \(t\) được tính theo biểu thức \(\alpha = \sigma .{t^2}\) với \(\sigma \) là hằng số. Biết rằng sau 0,25 giây thì dòng điện cảm ứng trong mạch có giá trị cực đại. Giá trị cực đại của dòng điện là bao nhiêu ampe? (Kết quả làm tròn đến chữ số hàng phần mười).
Diện tích mạch quạt do thanh OP quét được là: \(S\left( t \right) = \frac{1}{2}{R^2}\alpha = \frac{1}{2}{R^2}\sigma {t^2}\).
Từ thông qua mạch \({\rm{\Phi }}\left( t \right) = B.S\left( t \right) = \frac{1}{2}B{R^2}\sigma {t^2}\), suy ra suất điện động cảm ứng: \(e = \frac{{d{\rm{\Phi }}}}{{dt}} = B{R^2}\sigma t\).
Chiều dài toàn bộ mạch điện kín là \(L\left( t \right) = 2R + R\alpha = R\left( {2 + \sigma {t^2}} \right)\), do đó điện trở của mạch là:
\({R_m} = \rho \frac{{L\left( t \right)}}{{{S_0}}} = \rho \frac{{R\left( {2 + \sigma {t^2}} \right)}}{{{S_0}}}\).
Cường độ dòng điện chạy trong mạch: \(I\left( t \right) = \frac{e}{{{R_m}}} = \frac{{BR{S_0}\sigma t}}{{\rho \left( {2 + \sigma {t^2}} \right)}} = \frac{{BR{S_0}\sigma }}{\rho }.\frac{1}{{\frac{2}{t} + \sigma t}}\)
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy: \(\frac{2}{t} + \sigma t \ge 2\sqrt {2\sigma } \)
Dấu bằng xảy ra khi \(t = \sqrt {\frac{2}{\sigma }} \).
Theo đề bài, dòng điện cực đại lúc \(t = 0,25{\rm{\;s}}\) nên ta có: \(0,25 = \sqrt {\frac{2}{\sigma }} \Rightarrow \sigma = 32{\rm{\;rad}}/{{\rm{s}}^2}\).
Khi đó cụm mẫu số \(\frac{2}{t} + \sigma t\) có giá trị bằng 4
\( \Rightarrow {I_{{\rm{max}}}} = \frac{{B.R.{S_0}.\sigma .t}}{{4\rho }} \Rightarrow {I_{{\rm{max}}}} = \frac{{0,15.0,24.1,{{2.10}^{ - 6}}.32.0,25}}{{4.1,{{7.10}^{ - 8}}}} \approx 5,1{\rm{\;A}}.\)
Đáp án: 5,1