Một đài quan sát \(O\) cách ba vị trí \(A,B,C\) như hình vẽ dưới đây thỏa mãn \(OB = x\;{\rm{km}}\)
20/20
Một đài quan sát \(O\) cách ba vị trí \(A,B,C\) như hình vẽ dưới đây thỏa mãn \(OB = x\;{\rm{km}}\), \(OC = x + 1\;{\rm{km}}\) và \(OA = 2\;{\rm{km}}\). Tìm \(x\) biết khoảng cách từ vị trí \(A\) đến vị trí \(C\) gấp đôi khoảng cách từ vị trí \(A\) đến vị trí \(B\) và khoảng cách từ \(O\) đến \(B\) ngắn hơn khoảng cách từ \(O\) đến \(A\).
Xét \(\Delta AOC\) có \(A{C^2} = O{A^2} + O{C^2} - 2.OA.OC.\cos 120^\circ = 4 + {\left( {x + 1} \right)^2} + 2.\left( {x + 1} \right) = {x^2} + 4x + 7\).
Suy ra \(AC = \sqrt {{x^2} + 4x + 7} \).
Xét \(\Delta ABO\) có \(AB = \sqrt {O{A^2} - O{B^2}} = \sqrt {4 - {x^2}} \).
Vì \(AC = 2AB\) nên \(\sqrt {{x^2} + 4x + 7} = 2\sqrt {4 - {x^2}} \)
Bình phương 2 vế của phương trình trên ta được:
\({x^2} + 4x + 7 = 4\left( {4 - {x^2}} \right)\)\( \Leftrightarrow 5{x^2} + 4x - 9 = 0\)\( \Leftrightarrow x = 1\) hoặc \(x = - \frac{9}{5}\).
Thay lần lượt các giá trị của \(x\) vào phương trình ta thấy \(x = 1\) và \(x = - \frac{9}{5}\) đều là nghiệm của phương trình.
Vì \(x > 0\) nên \(x = 1\) thỏa mãn \(OB < OA\).