Một đại lý xe máy có kế hoạch nhập về hai dòng xe máy A và B, giá mỗi chiếc lần lượt là 40 triệu đồng và 60 triệu đồng với số vốn ban đầu không vượt quá 4,8 tỉ đồng.

Gọi số xe máy loại \(A\) và \(B\) cần đầu tư lần lượt là \(x\) và \(y\) (\(x,y \in \mathbb{N}\)).

Do tổng số vốn ban đầu không vượt quá \(4,8\) tỉ đồng nên ta có \(\)40\cdot 10^6x+60\cdot 10^6y\leq 4{,}8\cdot 10^9\Leftrightarrow 2x+3y\leq 240.\(\)

Vì tổng nhu cầu hàng tháng sẽ không vượt quá \(90\) chiếc cả hai loại nên \(x + y \le 90\).

Lợi nhuận thu được là \(F = 8 \cdot {10^6}x + 10 \cdot {10^6}y = 2 \cdot {10^6} \cdot (4x + 5y)\).

Ta có hệ bất phương trình \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x + y \le 90}\\{2x + 3y \le 240}\\{x \ge 0}\\{y \ge 0.}\end{array}} \right.\)

Miền nghiệm của hệ bất phương trình là miền tứ giác \(OABC\) kể cả các cạnh của tứ giác.

Tại \(O\) ta có \(F = 2 \cdot {10^6}(4 \cdot 0 + 5 \cdot 0) = 0\).

Tại \(A(90;0)\) ta có \(F = 2 \cdot {10^6}(4 \cdot 90 + 5 \cdot 0) = 720 \cdot {10^6}\).

Tại \(B(30;60)\) ta có \(F = 2 \cdot {10^6}(4 \cdot 30 + 5 \cdot 60) = 840 \cdot {10^6}\).

Tại \(C(0;80)\) ta có \(F = 2 \cdot {10^6}(4 \cdot 0 + 5 \cdot 80) = 800 \cdot {10^6}\).

\(F\)đạt giá trị lớn nhất khi \(x = 30\) và \(y = 60\).

Vậy cần đầu tư kinh doanh loại \(A\) là \(30\) chiếc và loại \(B\) là \(60\) chiếc để thu được lợi nhuận lớn nhất.

Suy ra \(a = 30\) và \(b = 60\), \(a \cdot b = 1800\).