Một đa giác có chu vi bằng 158 cm , độ dài các cạnh của nó lập thành một cấp số cộng. Biết cạnh lớn nhất có độ dài là 44 cm . Tìm số cạnh của đa giác đó?
Giả sử đa giác có \(n\) cạnh (\(n \in \mathbb{N},\,\,n \ge 3\)).
Gọi độ dài các cạnh của đa giác là \({u_1},\,{u_2},\,{u_3},\,...\,,\,{u_n}\) theo thứ tự lập thành cấp số cộng và cạnh lớn nhất có độ dài là 44 nên \(0 < {u_1} < {u_2} < \,{u_3} < \,...\, < \,{u_n} = 44cm\).
Vì đa giác có chu vi là \[158cm\] nên \[{S_n} = {u_1} + {u_2} + \,{u_3} + \,...\, + \,{u_n} = \frac{{\left( {{u_1} + {u_n}} \right)n}}{2}\]
hay \[158 = \frac{{\left( {{u_1} + 44} \right)n}}{2}\] suy ra \[n = \frac{{316}}{{{u_1} + 44}}\]
Mà \(n \in \mathbb{N}\) nên \[{u_1} + 44\] là ước nguyên dương của \[316\] hay \[{u_1} + 44 \in \left\{ {1;2;\,4;\,79;\,158;\,316} \right\}\].
\[{u_1} + 44\] | 1,\(2\),\(4\) | \(79\) | \(158\) | \(316\) |
\[{u_1}\] | \[{u_1} < 0\] (loại)
| \[{u_1} = 35\] | \[{u_1} = 114\](không thỏa mãn vì \({u_n} = 44cm\)) | \[{u_1} = 272\](không thỏa mãn vì \({u_n} = 44cm\)) |
Vậy đa giác đã cho có \[n = \frac{{316}}{{79}} = 4\] cạnh.