Một đa giác có 35 đường chéo. Hỏi đa giác đó có bao nhiêu đỉnh? A. 8. B. 6. C. 12 D. 10

Phương pháp giải

Cứ nối bất kì 2 đỉnh nào của đa giác ta sẽ được một cạnh hoặc một đường chéo. Từ đó sử dụng tổ hợp tính số đường chéo tìm n.

Giải chi tiết

Ta biết rằng cứ nối bất kì \(2\) đỉnh nào của đa giác ta sẽ được một cạnh hoặc một đường chéo.

Số cách chọn \(2\) đỉnh từ \(n\) đỉnh là:

                                                 \[C_n^2 = \frac{{n(n - 1)}}{2}\]

Trong đó, số cạnh của đa giác là \(n\).

Vậy số đường chéo của đa giác là:

                                                                 \[C_n^2 - n\]

Theo đề bài:

                                                            \[C_n^2 - n = 35\]

                                                 \[\frac{{n(n - 1)}}{2} - n = 35\]

Nhân cả hai vế với \(2\):

                                                           \[n(n - 1) - 2n = 70\]

                                                         \[{n^2} - 3n - 70 = 0\]

Giải phương trình:

$\Delta ={(-3)}^2+4\cdot 70=289\Rightarrow \sqrt{\Delta }=17$

                           \[n = \frac{{3 \pm 17}}{2} \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{n = 10}\\{n = - 7\;({\rm{lo?i}})}\end{array}} \right.\]

Vậy đa giác có 10 đỉnh.