Một cửa hàng sử dụng robot giao đồ ăn. Từ nơi nhận đồ ăn đến vị trí của khách hàng , robot phải di chuyển qua hai đoạn đường. Đoạn đường thứ nhất dài 8m. Đoạn đường thứ hai dài 18m

Gọi \(x,y\) lần lượt là vận tốc của robot ở đoạn đường dài \(8m\) và đoạn đường dài \(18m\) để mức tiêu hao năng lượng của robot là thấp nhất.

ĐK: \(x > 0;y > 0;x + y \le 5\)     Đơn vị: m/s

Hao phí động cơ là \(x + y\) (m/s)

Hao phí điều khiển là \(\frac{8}{x} + \frac{{18}}{y}\) (s)

Mức tiêu hao năng lượng là \(x + y + \frac{8}{x} + \frac{{18}}{y}\)

Ta có: \(x + y + \frac{8}{x} + \frac{{18}}{y} = \left( {\frac{8}{x} + 2x} \right) + \left( {\frac{{18}}{y} + 2y} \right) - \left( {x + y} \right)\)

Áp dụng BĐT Cô si cho hai số dương ta có:

\(\begin{array}{l}\frac{8}{x} + 2x \ge 2\sqrt {\frac{8}{x}.2x}  = 8;\,\\\frac{{18}}{y} + 2y \ge 2\sqrt {\frac{{18}}{y}.2y}  = 12;\end{array}\)

Từ \(x + y \le 5\) suy ra \( - \left( {x + y} \right) \ge  - 5\)

Từ đó suy ra: \(\left( {\frac{8}{x} + 2x} \right) + \left( {\frac{{18}}{y} + 2y} \right) - \left( {x + y} \right) \ge 8 + 12 - 5 = 15\)

Dấu “=” xảy ra khi \(x = 2;y = 3\) (thoả mãn)

Vậy để mức tiêu hao năng lượng của robot là thấp nhất thì vận tốc của robot ở đoạn đường dài \(8m\) và đoạn đường dài \(18m\) lần lượt là \(2\) (m/s) và \(3\) (m/s).