Một cửa hàng bán bưởi Đoan Hùng của Phú Thọ với giá bán mỗi quả là 50.000 đồng. Với giá bán này thì cửa hàng chỉ bán được khoảng 40 quả bưởi.

Đáp án: \(42.000\).

Phương pháp giải:

Gọi \(x\) là giá bán thực tế của mỗi quả bưởi Đoan Hùng, (\(x\): đồng; \(30.000 \le x \le 50.000\) đồng).

Ta có thể lập luận như sau:

Giá \(50.000\) đồng thì bán được \(40\) quả bưởi

Giảm giá \(5.000\) đồng thì bán được thêm \(50\) quả.

Giảm giá \(50.000 - x\) thì bán được thêm bao nhiêu quả?

Giải chi tiết:

Gọi \(x\) là giá bán thực tế của mỗi quả bưởi Đoan Hùng,

(\(x\): đồng; \(30.000 \le x \le 50.000\) đồng).

Ta có thể lập luận như sau:

Giá \(50.000\) đồng thì bán được \(40\) quả bưởi

Giảm giá \(5.000\) đồng thì bán được thêm \(50\) quả.

Giảm giá \(50.000 - x\) thì bán được thêm bao nhiêu quả?

Theo quy tắc tam xuất số quả bán thêm được là: \(\left( {50000 - x} \right) \cdot \frac{{50}}{{5000}} = \frac{1}{{100}}\left( {50000 - x} \right)\).

Do đó Số quả bưởi bán được tương ứng với giá bán \(x\): \(40 + \frac{1}{{100}}\left( {50000 - x} \right) = - \frac{1}{{100}}x + 540\)

Gọi \(F\left( x \right)\) là hàm lợi nhuận thu được \(F\left( x \right)\): đồng).

Ta có: \(F\left( x \right) = \left( { - \frac{1}{{100}}x + 540} \right) \cdot \left( {x - 30.000} \right) = - \frac{1}{{100}}{x^2} + 840x - 16.200.000\)

Bài toán trở thành tìm giá trị lớn nhất của hàm số:

\(F\left( x \right) = - \frac{1}{{100}}{x^2} + 840x - 16.200.000\), điều kiện: \(30.000 \le x \le 50.000\).

\(F'\left( x \right) = - \frac{1}{{50}}x + 840\); \(F'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow - \frac{1}{{50}}x + 840 = 0 \Leftrightarrow x = 42.000\)

Vì hàm \(F\left( x \right)\) liên tục trên \(30.000 \le x \le 50.000\) nên ta có:

\(F\left( {42.000} \right) = 1.440.000\);  \(F\left( {50.000} \right) = 800.000\)

Vậy với \(x = 42.000\) thì \(F\left( x \right)\) đạt giá trị lớn nhất.

Vậy để cửa hàng đó thu được lợi nhuận lớn nhất thì giá bán thực tế của mỗi quả bưởi Đoan Hùng là \(42.000\) đồng.