Một cột điện thẳng đứng với mặt đất bằng phẳng được dựng vuông góc với mặt đất tại điểm \[O\]. Trên mặt đất, có hai điểm \[B\], \[C\] phân biệt, đồng phẳng với điểm \[O\] và cách đều \[O\] cá

17/22

PHẦN III. Câu trắc nghiệm trả lời ngắn. (6 câu, 3 điểm)

Một cột điện thẳng đứng với mặt đất bằng phẳng được dựng vuông góc với mặt đất tại điểm \[O\]. Trên mặt đất, có hai điểm \[B\], \[C\] phân biệt, đồng phẳng với điểm \[O\] và cách đều \[O\] các khoảng đều bằng 6 m. Từ đỉnh \[A\] của cột điện, người ta căng thẳng hai dây cáp đến \[B\] và \[C\] để giữ cho cột điện vững chắc. Biết rằng góc phẳng nhị diện \(\left[ {B,OA,C} \right] = 135^\circ \) và góc \[\left( {AB,\left( {OBC} \right)} \right) = 45^\circ \]. Giá trị của \(\cos \left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right)\) (làm tròn đến hàng phần chục) bằng bao nhiêu?

Nhập câu trả lời ở đây

Giải thích

Dựng hệ trục tọa độ tại điểm \(O\left( {0;0;0} \right)\) nằm trên mặt đất, cột điện nằm trên trục \(Oz \Rightarrow A\left( {0;0;h} \right)\).

Ta có \(OB = OC = 6{\rm{m}}\). Vì góc nhị diện \(\left[ {B,OA,C} \right] = 135^\circ \) nên \(\widehat {BOC} = 135^\circ \).

Góc giữa \(AB\) và mặt phẳng đáy là \(\widehat {ABO} = 45^\circ \Rightarrow h = OA = OB{\rm{tan}}45^\circ = 6\,\,\left( {\rm{m}} \right)\).

Chọn tia \(OB\) làm trục \(Ox \Rightarrow B\left( {6;0;0} \right)\).

Điểm \(C\) thuộc mặt phẳng \(\left( {Oxy} \right)\) có tọa độ: \(C\left( {6{\rm{cos}}135^\circ ;6{\rm{sin}}135^\circ ;0} \right) = \left( { - 3\sqrt 2 ;3\sqrt 2 ;0} \right)\).

Tọa độ các vectơ: \(\overrightarrow {AB} = \left( {6;0; - 6} \right) \Rightarrow \left| {\overrightarrow {AB} } \right| = 6\sqrt 2 \); \(\overrightarrow {AC} = \left( { - 3\sqrt 2 ;3\sqrt 2 ; - 6} \right) \Rightarrow \left| {\overrightarrow {AC} } \right| = \sqrt {18 + 18 + 36} = 6\sqrt 2 \).

Tích vô hướng: \(\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {AC} = - 18\sqrt 2 + 36\).

Côsin góc giữa hai vectơ: \({\rm{cos}}\left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right) = \frac{{ - 18\sqrt 2 + 36}}{{72}} = \frac{{2 - \sqrt 2 }}{4} \approx 0,146 \approx 0,1\).

Đáp án: 0,1.