Một công viên nhỏ trong một khu dân cư có dạng hình chữ nhật với chiều rộng là

Đáp án: \[17,7\].

Gắn hệ trục tọa độ \[Axy\] như hình vẽ (mỗi đơn vị trên trục tọa độ tương ứng \[1m\]).

Khi đó ta có \[A\left( {0;0} \right)\], \[H\left( {10;0} \right)\], \[B\left( {20;0} \right)\], \[O\left( {10;30} \right)\], tâm đường tròn \[I\left( {30;50} \right)\].

Ta cần tìm chiều dài ngắn nhất của đoạn đường nối hai phần lát gạch, tức là tìm khoảng cách nhỏ nhất giữa hai điểm bất kì trên đường tròn và parabol. Điều này tương đương với tìm khoảng cách nhỏ nhất từ tâm \[I\] của đường tròn đến một điểm \[M\] bất kì thuộc parabol sau đó trừ đi bán kính \[10m\].

Gọi phương trình parabol là \[y = a{x^2} + bx + c\]. Parabol đi qua điểm \[A\left( {0;0} \right)\], \[B\left( {20;0} \right)\], \[O\left( {10;30} \right)\] nên ta có hệ phương trình \[\left\{ \begin{array}{l}c = 0\\400a + 20b + c = 0\\100a + 10b + c = 30\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = \frac{{ - 3}}{{10}}\\b = 6\\c = 0\end{array} \right.\] hay \[y = \frac{{ - 3}}{{10}}{x^2} + 6x\].

Điểm \[M\] thuộc parabol nên tọa độ có dạng \[M\left( {m;\frac{{ - 3}}{{10}}{m^2} + 6m} \right)\] (\[0 \le m \le 20\]).

\[M{I^2} = {\left( {m - 30} \right)^2} + {\left( {\frac{{ - 3}}{{10}}{m^2} + 6m - 50} \right)^2} = f\left( m \right)\].

\[f'\left( m \right) = 2\left( {m - 30} \right) + 2 \cdot \left( {\frac{{ - 3}}{5}m + 6} \right)\left( {\frac{{ - 3}}{{10}}{m^2} + 6m - 50} \right)\]

Sử dụng máy tính bỏ túi giải phương trình \[f'\left( m \right) = 0\] thu được nghiệm \[{m_0} \approx 11,492\].

Dễ dàng kiểm tra \[\mathop {\min }\limits_{\left[ {0;20} \right]} f\left( m \right) = f\left( {{m_0}} \right)\] bằng máy tính bỏ túi

Chiều dài ngắn nhất của đoạn đường là \[\min IM - 10 = \sqrt {f\left( {{m_0}} \right)} - 10 \approx 17,7\left( m \right)\].