Một công ty xây dựng một nhà máy mới có chi phí 225 tỷ đồng. Chi phí sản xuất x nghìn sản phẩm mỗi năm tại nhà máy này là 0,5x^2 + 2x + 6 tỷ đồng. Khi nhà máy đã được xây dựng, công ty sẽ sản

Trước hết ta gọi \(p\) là giá bán sản phẩm (triệu đồng).
Lợi nhuận mỗi năm của công ty là \(P\left( x \right) = R\left( x \right) - C\left( x \right) = xp\left( x \right) - \left( {0,5{x^2} + 2x + 6} \right)\)
Suy ra \(P\left( x \right) = - 0,5{x^2} + \left( {p - 2} \right)x - 6\) là tam thức bậc 2 max tại \(x = - \frac{b}{{2a}} = \frac{{2 - p}}{{2\left( { - 0,5} \right)}} = p - 2\) và lợi nhuận lớn nhất là \(\frac{{{{\left( {p - 2} \right)}^2}}}{2} - 6\) (tỷ đồng).
Năm 1 giá bán sản phẩm là \(p = 10\) triệu đồng
Năm 2 giá bán sản phẩm là \(p = 10 + 1 = 11\) triệu đồng 🡪 … 🡪 năm \(n\) giá bán sản phẩm là \(p = 10 + \left( {n - 1} \right) = n + 9\) triệu đồng
Vậy công ty hoàn vốn khi lợi nhuận = chi phí \( \Leftrightarrow \sum\limits_{p = 10}^{n + 9} {\left[ {\frac{{{{\left( {p - 2} \right)}^2}}}{2} - 6} \right]} = 225 \Rightarrow n = 5\)