Một công ty ước tính rằng nếu sản xuất x đơn vị sản phẩm (0 < x < 24) thì sẽ có doanh thu biên R'(x) = 278 - 2x USD và chi phí biên

15/22

Một công ty ước tính rằng nếu sản xuất \(x\) đơn vị sản phẩm (\(0 \le x \le 24\)) thì sẽ có doanh thu biên \(R'\left( x \right) = 278 - 2x\) USD và chi phí biên \(C'\left( x \right) = \frac{6}{5}{x^2} - 2x + 8\) USD. Các hàm doanh thu biên và chi phí biên lần lượt là đạo hàm của hàm doanh thu \[R\left( x \right)\] và hàm chi phí \(C\left( x \right)\), dùng để biểu diễn tốc độ thay đổi của doanh thu và chi phí theo số lượng đơn vị sản phẩm.

Lợi nhuận của công ty đó khi sản xuất \(x\) sản phẩm là \(P\left( x \right) = R\left( x \right) - C\left( x \right)\).

ĐúngSai

Biết rằng doanh thu của công ty khi sản xuất 5 sản phẩm là 1465 USD, khi đó \(R\left( x \right) = 278x - {x^2} + 95\).

ĐúngSai

Biết rằng chi phí của công ty khi sản xuất 5 sản phẩm là 900 USD, khi đó \(C\left( x \right) = \frac{2}{5}{x^3} - {x^2} + 8x + 835\).

ĐúngSai

Công ty đạt lợi nhuận lớn nhất là 1960 USD.

ĐúngSai

Giải thích

a) ĐÚNG. Theo lý thuyết kinh tế và định nghĩa, hàm lợi nhuận bằng doanh thu trừ đi chi phí:

\(P\left( x \right) = R\left( x \right) - C\left( x \right)\).

b) SAI. Ta có \(R\left( x \right) = \int {R'\left( x \right){\rm{d}}} x = \int {\left( {278 - 2x} \right){\rm{d}}} x = 278x - {x^2} + {C_1}\).

Biết \(R\left( 5 \right) = 1465 \Rightarrow 278 \cdot 5 - {5^2} + {C_1} = 1465 \Leftrightarrow 1390 - 25 + {C_1} = 1465 \Rightarrow {C_1} = 100\).

Vậy \(R\left( x \right) = 278x - {x^2} + 100\).

c) ĐÚNG. Ta có \(C\left( x \right) = \int {C'\left( x \right){\rm{d}}x} = \int {\left( {\frac{6}{5}{x^2} - 2x + 8} \right){\rm{d}}x} = \frac{2}{5}{x^3} - {x^2} + 8x + {C_2}\).

Biết \(C\left( 5 \right) = 900 \Rightarrow \frac{2}{5} \cdot {5^3} - {5^2} + 8 \cdot 5 + {C_2} = 900 \Leftrightarrow 50 - 25 + 40 + {C_2} = 900 \Rightarrow {C_2} = 835\).

Vậy \(C\left( x \right) = \frac{2}{5}{x^3} - {x^2} + 8x + 835\).

d) SAI. Hàm lợi nhuận biên là: \(P'\left( x \right) = R'\left( x \right) - C'\left( x \right) = \left( {278 - 2x} \right) - \left( {\frac{6}{5}{x^2} - 2x + 8} \right) = - \frac{6}{5}{x^2} + 270\).

\(P'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow - \frac{6}{5}{x^2} + 270 = 0 \Leftrightarrow {x^2} = 225 \Rightarrow x = 15 \in \left[ {0;24} \right]\).

Vì \(P'\left( x \right)\) đổi dấu từ dương sang âm khi qua \(x = 15\), nên hàm số đạt cực đại tại \(x = 15\).

Hàm lợi nhuận: \(P\left( x \right) = R\left( x \right) - C\left( x \right) = - \frac{2}{5}{x^3} + 270x - 735\).

Lợi nhuận lớn nhất đạt được tại \(x = 15\): \(P\left( {15} \right) = - \frac{2}{5} \cdot {15^3} + 270 \cdot 15 - 740 = 1965{\rm{\;USD}}\).