Một công ty sau khi ra mắt sản phẩm mới đã ghi nhận lợi nhuận P(t) (đơn vị: tỷ đồng) sau t tháng kinh doanh

a) Đúng.

Lợi nhuận của công ty tại thời điểm \(t = 2\): \(P\left( 2 \right) =  - {2^3} + 12 \times {2^2} + 60 \times 2 - 50 = 110\) tỷ đồng.

b) Sai.

Hàm số biểu thị tốc độ tăng trưởng lợi nhuận: \(P'\left( t \right) =  - 3{t^2} + 24t + 60\).

c) Đúng.

Hàm số \(P\left( t \right)\) liên tục trên đoạn \(\left[ {0;12} \right]\).

Ta có: \[P'\left( t \right) =  - 3{t^2} + 24t + 60 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 10 \in \left[ {0;12} \right]\\t =  - 2 \notin \left[ {0;12} \right]\end{array} \right.\].

Xét trên đoạn \(\left[ {0;12} \right]\):

+ \(P\left( 0 \right) =  - {0^3} + 12 \times {0^2} + 60 \times 0 - 50 =  - 50\);

+ \(P\left( {10} \right) =  - {10^3} + 12 \times {10^2} + 60 \times 10 - 50 = 750\);

+ \(P\left( {12} \right) =  - {12^3} + 12 \times {12^2} + 60 \times 12 - 50 = 670\).

Vậy lợi nhuận của công ty đạt mức tối đa là \({P_{\max }} = 750\) tỷ đồng tại thời điểm \(t = 10\).

d) Đúng.

Ta có: \(P'\left( t \right) =  - 3{t^2} + 24t + 60 =  - 3\left( {{t^2} - 8t + 16} \right) + 108 =  - 3{\left( {t - 4} \right)^2} + 108 \le 108\).

Dấu bằng xảy ra khi \( - 3{\left( {t - 4} \right)^2} = 0 \Leftrightarrow t = 4\).

Vậy tốc độ tăng trưởng lợi nhuận là lớn nhất tại thời điểm \(t = 4\).