Một công ty sau khi mở bán sản phẩm mới đã ghi nhận lợi nhuận P(t) (đơn vị triệu đồng) sau t tháng kinh doanh. Trong năm đầu tiên, giả sử mối liên hệ giữa lợi nhuận và th

Biết sau tháng đầu tiên (\(t = 1\)), lợi nhuận thu được là \(136\) triệu đồng:

\(P\left( 1 \right) = - {1^3} + 15 \cdot {1^2} + m \cdot 1 + 50 = 136 \Rightarrow 64 + m = 136 \Rightarrow m = 72\).

Vậy hàm lợi nhuận là: \(P\left( t \right) = - {t^3} + 15{t^2} + 72t + 50\).

a) Sai. Tốc độ tăng trưởng lợi nhuận là đạo hàm bậc nhất của \(P\left( t \right)\): \(P'\left( t \right) = - 3{t^2} + 30t + 72\).

b) Sai. Xét phương trình \(P'\left( t \right) = 0 \Leftrightarrow - 3{t^2} + 30t + 72 = 0 \Leftrightarrow t = 12\) hoặc \(t = - 2\) (loại).

Hàm số đồng biến trên khoảng \(\left( {1;12} \right)\) nên đạt cực đại tại \(t = 12\). Mệnh đề ghi \(t = 3\) là Sai.

c) Đúng. Thay \(t = 2\) vào hàm \(P\left( t \right)\): \(P\left( 2 \right) = - {2^3} + 15 \cdot {2^2} + 72 \cdot 2 + 50 = 246\) (triệu đồng).

d) Đúng. Tốc độ thay đổi lợi nhuận chính là hàm \(P'\left( t \right) = - 3{t^2} + 30t + 72\).

Đây là một parabol quay bề lõm xuống dưới, đạt giá trị lớn nhất tại đỉnh có hoành độ:

\(t = - \frac{b}{{2a}} = - \frac{{30}}{{2 \cdot \left( { - 3} \right)}} = 5\).