Một công ty sản xuất và bán ra 100 sản phẩm mỗi ngày với chi phí sản xuất là 1 triệu đồng/sản phẩm. Công ty phân phối số sản phẩm này đến hai cửa hàng bán lẻ. Do sự khác biệt về vị trí, nhu c

18/22

Một công ty sản xuất và bán ra 100 sản phẩm mỗi ngày với chi phí sản xuất là 1 triệu đồng/sản phẩm. Công ty phân phối số sản phẩm này đến hai cửa hàng bán lẻ. Do sự khác biệt về vị trí, nhu cầu, mặt bằng, ... nên mỗi cửa hàng có chi phí vận hành và doanh thu khác nhau theo số lượng sản phẩm bán ra.

Tại cửa hàng thứ nhất, chi phí vận hành cho mỗi sản phẩm là \(14\) nghìn đồng. Doanh thu từ việc bán \({x_1}\) sản phẩm tại cửa hàng này \(\left( {0 \le {x_1} \le 100,{x_1} \in \mathbb{N}} \right)\) được mô tả bởi hàm số

\({R_1}\left( {{x_1}} \right) = - 6x_1^2 + 2\,\,000{x_1}\) (nghìn đồng).

Tại cửa hàng thứ hai, chi phí vận hành cho mỗi sản phẩm là \(30\) nghìn đồng. Doanh thu từ việc bán \({x_2}\) sản phẩm tại cửa hàng này \(\left( {0 \le {x_2} \le 100,{x_2} \in \mathbb{N}} \right)\) được mô tả bởi hàm số

\({R_2}\left( {{x_2}} \right) = - 6x_2^2 + 1\,\,800{x_2}\) (nghìn đồng).

(Chi phí vận hành bao gồm các khoản chi phí dùng cho quảng cáo, vận tải, ...).

Lợi nhuận của công ty là tổng lợi nhuận từ việc bán sản phẩm từ hai cửa hàng. Hỏi công ty nên phân phối bao nhiêu sản phẩm đến cửa hàng thứ nhất trong một ngày để thu được lợi nhuận lớn nhất ? (giả sử số sản phẩm ở cả hai cửa hàng đều được bán hết mỗi ngày).

Đáp số: ___

Click vào chỗ trống để nhập đáp án. Nhấn Enter để xác nhận, Esc để hủy.

Giải thích

Với \({x_1}\) là số sản phẩm phân phối đến cửa hàng thứ nhất (\(0 \le {x_1} \le 100,{x_1} \in \mathbb{N}\)) thì số sản phẩm phân phối đến cửa hàng thứ hai là \({x_2} = 100 - {x_1}\).

Đổi tất cả các đơn vị chi phí về cùng đơn vị nghìn đồng:

Chi phí sản xuất 1 sản phẩm: 1 triệu đồng = 1000 nghìn đồng.

Lợi nhuận tại cửa hàng 1: \({P_1}\left( {{x_1}} \right) = \left( { - 6x_1^2 + 2000{x_1}} \right) - \left( {1000 + 14} \right){x_1} = - 6x_1^2 + 986{x_1}\).

Lợi nhuận tại cửa hàng 2: \({P_2}\left( {{x_2}} \right) = \left( { - 6x_2^2 + 1800{x_2}} \right) - \left( {1000 + 30} \right){x_2} = - 6x_2^2 + 770{x_2}\).

Thay \({x_2} = 100 - {x_1}\) vào \({P_2}\) ta được

\({P_2} = - 6{\left( {100 - {x_1}} \right)^2} + 770\left( {100 - {x_1}} \right)\)\( = - 6\left( {10000 - 200{x_1} + x_1^2} \right) + 77000 - 770{x_1}\)\( = - 6x_1^2 + 430{x_1} + 17000\).

Tổng lợi nhuận toàn công ty:

\(P\left( {{x_1}} \right) = {P_1}\left( {{x_1}} \right) + {P_2}\left( {{x_1}} \right) = \left( { - 6x_1^2 + 986{x_1}} \right) + \left( { - 6x_1^2 + 430{x_1} + 17000} \right)\)\( = - 12x_1^2 + 1416{x_1} + 17000\).

Đây là một hàm số bậc hai có đồ thị là một parabol quay bề lõm xuống dưới, đạt giá trị lớn nhất tại đỉnh:

\({x_1} = - \frac{b}{{2a}} = - \frac{{1416}}{{2 \cdot \left( { - 12} \right)}} = \frac{{1416}}{{24}} = 59\).

Vì \(59 \in \left[ {0;100} \right]\) và là số nguyên, nên công ty nên phân phối 59 sản phẩm đến cửa hàng thứ nhất.

Đáp số: 59.