Một công ty sản xuất kẹo thạch muốn thiết kế một loại vỏ nhựa có dạng hình tròn xoay. Hình này được tạo thành khi quay hình phẳng (H) giới hạn bởi đường parabol (P): y = x^2 và đường thẳng y
21/22
Một công ty sản xuất kẹo thạch muốn thiết kế một loại vỏ nhựa có dạng hình tròn xoay. Hình này được tạo thành khi quay hình phẳng \((H)\)giới hạn bởi đường parabol \((P):y = {x^2}\) và đường thẳng \[y{\rm{ }} = {\rm{ }}h{\rm{ }}\left( {h{\rm{ }} > {\rm{ }}0} \right)\] quanh trục tung \(Oy\). Đơn vị đo trên các trục tọa độ là mm. Bên trong vỏ nhựa có đặt một viên kẹo thạch hình cầu bán kính \(R\). Biết viên kẹo tiếp xúc với mặt xung quanh của vỏ nhựa đồng thời tiếp xúc với mặt đáy của vỏ (xem hình vẽ). Gọi \(M\) là điểm tiếp xúc giữa viên kẹo và mặt bên của vỏ nhựa, \(M\)thuộc mặt phẳng \((Oxy)\). Khoảng cách từ điểm \(M\) đến trục hoành bằng \(20{\rm{ mm}}\). Phần không gian còn lại trong vỏ nhựa được đổ đầy nước trái cây. Tính thể tích \(V\) của phần nước trái cây này (kết quả làm tròn đến hàng đơn vị của \({\rm{m}}{{\rm{m}}^3}\), không làm tròn các bước trung gian, chỉ làm tròn ở bước cuối cùng, bỏ qua độ dày của vỏ).![Đáp án: \[50\] \[{d_{1\,}}\,\,\left\{ \begin{array}{l}\o (ảnh 1)](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2026/05/picture32-1779782906.png)
Đáp án: 600.
Tìm bán kính \(R\) của viên kẹo: \(M(\sqrt {20} ;20) \in (P):y = {x^2}\).
Tiếp tuyến tại \(M\) có hệ số góc \(k = y'({x_M}) = 2\sqrt {20} \Rightarrow y = 2\sqrt {20} \left( {x - \sqrt {20} } \right) + 20\).
Phương trình tiếp tuyến tại \(M\): \(2\sqrt {20} x - y - 20 = 0 \Rightarrow VTCP\left( {1;2\sqrt {20} } \right)\).
Tâm \(I(0;b)\) thuộc\(Oy\), vectơ \(\overrightarrow {IM} = (\sqrt {20} ;20 - b)\) vuông góc với tiếp tuyến:
\(\overrightarrow {IM} \times (1;2\sqrt {20} ) = 0 \Leftrightarrow \sqrt {20} + 2\sqrt {20} (20 - b) = 0 \Rightarrow b = 20.5{\rm{ mm}}\).
\(R = \left| {\overrightarrow {IM} } \right| = \sqrt {{{\left( {\sqrt {20} } \right)}^2} + {{\left( {20 - 20.5} \right)}^2}} = \frac{9}{2} = 4.5\)
Thể tích vỏ nhựa (\[{V_v}\]) giới hạn từ \(y = 0\) đến\(y = 25\).
\({V_v} = \pi \int_0^{25} y {\mkern 1mu} dy = \pi \left[ {\frac{{{y^2}}}{2}} \right]_0^{25} = \frac{{625\pi }}{2}\)
Thể tích viên kẹo (\[{V_K}\]):
\({V_K} = \frac{4}{3}\pi {R^3} = \frac{4}{3}\pi {\left( {\frac{9}{2}} \right)^3} = \frac{{243\pi }}{2}\).
Thể tích nước (\[V\]):
\(V = {V_V} - {V_K} = \frac{{625\pi }}{2} - \frac{{243\pi }}{2} = \frac{{382\pi }}{2} = 191\pi \approx 600{\rm{ m}}{{\rm{m}}^3}\).