Một công ty sản xuất dụng cụ thể thao nhận được một đơn đặt hàng sản xuất 10 000 quả bóng pickleball. Công ty này sở hữu một số máy móc, mỗi máy móc có thể sản xuất 40 quả bóng pickleball

Gọi số máy móc công ty nên sử dụng là \(x\) (máy) Điều kiện \(x > 0\).          

Trong một giờ, số quả bóng pickleball sản xuất được là \(40x\) (quả bóng)

Như vậy, số giờ để sản xuất \(100\,\,000\) quả bóng là \(\frac{{10\,000}}{{40x}} = \frac{{250}}{x}\) (giờ)

Mỗi giờ phải trả \(160\) nghìn đồng cho người giám sát và chi phí thiết lập cho mỗi máy là \(100\) nghìn đồng nên chi phí sản xuất là \(100\,\,000x + \frac{{250}}{x}.160\,\,000 = 100\,\,000x + \frac{{40\,\,000\,\,000}}{x}\) (đồng)    

Chứng minh BĐT Cauchy: Cho hai số \(a,b \ge 0\), ta có

\(\begin{array}{l}{\left( {\sqrt a - \sqrt b } \right)^2} \ge 0\\a - 2\sqrt {ab} + b \ge 0\\a + b \ge 2\sqrt {ab} \end{array}\)

Dấu "=" xảy ra khi \(a = b\)

0,25

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho hai số dương \(100\,\,000x\) và \(\frac{{40\,\,000\,\,000}}{x}\), ta được:

\(100\,\,000x + \frac{{40\,\,000\,\,000}}{x} \ge 2\sqrt {100\,\,000x.\frac{{40\,\,000\,\,000}}{x}} \)

\(100\,\,000x + \frac{{40\,\,000\,\,000}}{x} \ge 40\,\,000\,\,000\)

Dấu "=" xảy ra khi \(100\,\,000x = \frac{{40\,\,000\,\,000}}{x}\)

\(\begin{array}{l}{x^2} = \frac{{40\,\,000\,\,000\,}}{{100\,\,000}}\\{x^2} = 400\end{array}\)

Suy ra \(x = 20\) (TM)

Vậy số máy móc công ty nên sử dụng là \(20\) máy để chi phí sản xuất là thấp nhất.

0,25