Một công ty sản xuất bánh kẹo thiết kế một loại hộp giấy có dạng hình nón để đựng vừa khít một viên sô-cô-la cao cấp hình cầu có bán kính như hình vẽ. Biết các mặt hộp đều tiếp xúc với viên s
6/8
Một công ty sản xuất bánh kẹo thiết kế một loại hộp giấy có dạng hình nón để đựng vừa khít một viên sô-cô-la cao cấp hình cầu có bán kính như hình vẽ. Biết các mặt hộp đều tiếp xúc với viên sô-cô-la.
(a) Tính thể tích của viên sô-cô-la.
(b) Biết chiều cao của hộp giấy hình nón . Giả sử các mép nối không đáng kể, hỏi cần tối thiểu bao nhiêu giấy để thiết kế một hộp như trên (kết quả làm tròn đến hàng phần mười)?
Cho biết công thức thể tích hình cầu là \(V = \frac{4}{3}\pi {R^3}\) với \(R\) là bán kính hình cầu. Diện tích toàn phần hình nón là \(S = \pi Rl + \pi {R^2}\) với \(R\) là bán kính đáy hình nón, \(l\) là độ dài đường sinh của hình nón.
a) Thể tích của viên sô-cô-la là: \(V = \frac{4}{3}\pi {2^3} = \frac{{32}}{3}\pi \,\,\left( {{\rm{c}}{{\rm{m}}^3}} \right)\).
b) Bán kính viên sô-cô-la là \(OI = OK = 2{\rm{ cm}}\).
\(SO = SI - OI = 6 - 2 = 4{\rm{ cm}}\).
Xét \(\Delta SKO\) vuông tại \(K\) có: \(SK = \sqrt {S{O^2} - O{K^2}} = \sqrt {{4^2} - {2^2}} = 2\sqrt 3 {\rm{ (cm)}}\).
Xét \(\Delta SKO\) và \(\Delta SIH\) có: \(\widehat {SKO} = \widehat {SIH} = 90^\circ \,;\) \(\widehat {IAH}\) chung.
Do đó (g.g)
Suy ra \(\frac{{SK}}{{SI}} = \frac{{SO}}{{SH}} = \frac{{OK}}{{IH}}\) hay \(\frac{{2\sqrt 3 }}{6} = \frac{4}{{SH}} = \frac{2}{{IH}}\).
Do đó \(SH = \frac{{6 \cdot 4}}{{2\sqrt 3 }} = 4\sqrt 3 ;IH = \frac{{2 \cdot 6}}{{2\sqrt 3 }} = 2\sqrt 3 \).
Diện tích giấy tối thiểu để làm một hộp là:
\({S_{tp}} = \pi \cdot 2\sqrt 3 \cdot 4\sqrt 3 + \pi {\left( {2\sqrt 3 } \right)^2} = 36\pi \approx 113,1\,\,\left( {{\rm{c}}{{\rm{m}}^2}} \right)\).
Vậy diện tích giấy tối thiểu để làm một hộp khoảng \(113,1\,\,{\rm{c}}{{\rm{m}}^2}.\)