Một công ty muốn thiết kế bao bì hình trụ có thể tích V cho trước sao cho chi phí vật liệu (tương ứng với diện tích toàn phần) là thấp nhất. Tìm tỷ lệ giữa chiều cao h và bán kính đáy r của h

Đáp án đúng là: A

Phương pháp giải:

Thiết lập hàm số diện tích toàn phần theo bán kính \(r\), sử dụng đạo hàm để tìm giá trị nhỏ nhất.

Lời giải chi tiết:

Thể tích hình trụ \(V = \pi {r^2}h \Rightarrow h = \frac{V}{{\pi {r^2}}}\).

Diện tích toàn phần của hình trụ là:\(S = 2\pi {r^2} + 2\pi rh = 2\pi {r^2} + 2\pi r\left( {\frac{V}{{\pi {r^2}}}} \right) = 2\pi {r^2} + \frac{{2V}}{r}\).

Xét hàm số \(S\left( r \right) = 2\pi {r^2} + \frac{{2V}}{r}\) với \(r > 0\).

\(S'\left( r \right) = 4\pi r - \frac{{2V}}{{{r^2}}} = \frac{{4\pi {r^3} - 2V}}{{{r^2}}}\).

\(S'\left( r \right) = 0 \Leftrightarrow 4\pi {r^3} = 2V \Leftrightarrow V = 2\pi {r^3}\).

Thay \(V = \pi {r^2}h\) vào, ta được: \(\pi {r^2}h = 2\pi {r^3} \Leftrightarrow h = 2r \Leftrightarrow \frac{h}{r} = 2\).