Một công ty kiến trúc thiết kế một trạm dừng chân hiện đại có hình dáng là một khối lăng trụ tam giác ABC.A'B'C', đảm bảo các yêu cầu sau:

Đáp án: 3.

Đáy \(ABC\) là tam giác đều cạnh \(a = 6\).

Diện tích đáy: \({S_{ABC}} = \frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4} = \frac{{{6^2}\sqrt 3 }}{4} = 9\sqrt 3 {\rm{ (}}{{\rm{m}}^2}{\rm{)}}\).

Gọi \(M\) là trung điểm của \(BC\)  Suy ra \(AM \bot BC\) và độ dài đường cao đáy \(AM = \frac{{a\sqrt 3 }}{2} = 3\sqrt 3 \).

Vì \(G\) là trọng tâm \(\Delta ABC\) nên \(AG = \frac{2}{3}AM = 2\sqrt 3 \) và \(GM = \frac{1}{3}AM = \sqrt 3 \).

Theo giả thiết, hình chiếu của \(A'\) lên \(\left( {ABC} \right)\) là \(G\,\,\, \Rightarrow A'G \bot (ABC)\). Suy ra \(A'G \bot BC\).

Ta có \(BC \bot AM\) và \(BC \bot A'G\) nên \(BC \bot (A'AM)\).

Trong mặt phẳng \((A'AM)\), kẻ \(MI \bot AA'\) tại \(I\).

Vì \(BC \bot (A'AM)\) nên \(BC \bot MI\). Do đó, \(MI\) là đoạn vuông góc chung của \(AA'\) và \(BC\).

Suy ra khoảng cách \(d(AA',BC) = MI = 1,5\sqrt 3  = \frac{{3\sqrt 3 }}{2}\).

Xét \(\Delta A'AM\), ta có

\({S_{A'AM}} = \frac{1}{2}.A'G.AM = \frac{1}{2} \cdot AA'.MI\).

\( \Rightarrow A'G.3\sqrt 3  = AA'.\frac{{3\sqrt 3 }}{2} \Rightarrow AA' = 2A'G\, = \,\,2h\).

Xét \(\Delta A'GA\) vuông tại \(G\), áp dụng định lý Pytago:

\(A{A'^2} = A'{G^2} + A{G^2}\)

\( \Rightarrow {(2h)^2} = {h^2} + {(2\sqrt 3 )^2} \Rightarrow 4{h^2} = {h^2} + 12 \Rightarrow 3{h^2} = 12 \Rightarrow {h^2} = 4 \Rightarrow h = 2{\rm{ (m)}}\).

Thể tích khối lăng trụ: \(V = {S_{ABC}} \cdot h = 9\sqrt 3  \cdot 2 = 18\sqrt 3 {\rm{ (}}{{\rm{m}}^3}{\rm{)}}\).

Theo đề bài: \(V = 18\sqrt m  \Rightarrow 18\sqrt 3  = 18\sqrt m  \Rightarrow m = 3\).