Một công ty công nghệ chuyên sản xuất chip điện tử. Chi phí để sản xuất x đơn vị sản phẩm được xác định bởi hàm số: C(x)=0,1x^2+100x+20.000 (USD).

20/22

Một công ty công nghệ chuyên sản xuất chip điện tử. Chi phí để sản xuất \[x\] đơn vị sản phẩm được xác định bởi hàm số: \[C(x) = 0,1{x^2} + 100x + 20000\,\,{\rm{(USD)}}.\]

Một tập đoàn viễn thông ký hợp đồng mua sản phẩm với mức giá như sau: 1000 sản phẩm đầu tiên được bao tiêu với giá 650 USD/sản phẩm. Từ sản phẩm thứ 1001 trở đi, giá thu mua giảm xuống còn 450 USD/sản phẩm.

Do việc sản xuất quá nhiều chip có thể gây quá tải cho hệ thống xử lý chất thải của khu công nghiệp. Vì vậy, cơ quan thuế nhà nước đã áp dụng một mức thuế phụ thu \[t\] (USD) trên mỗi đơn vị sản phẩm, nhưng chỉ tính từ sản phẩm thứ 1001 trở đi. Để cơ quan thuế thu được số tiền thuế phụ lớn nhất thì công ty công nghệ cần sản xuất bao nhiêu sản phẩm để lợi nhuận lớn nhất?

Nhập câu trả lời ở đây

Giải thích

Đáp án: 1375.

Giả sử công ty sản xuất \[x\] sản phẩm (\[x > 1000,x \in \mathbb{N}\]).

- Doanh thu từ việc bán \[x\] sản phẩm được tính theo hai mức giá:

+Doanh thu từ 1000 sản phẩm đầu: \[1000 \times 650 = 650000\] (USD).

+Doanh thu từ sản phẩm thứ 1001 trở đi: \[\left( {x - 1000} \right) \times 450\] (USD).

- Tổng doanh thu: \[R\left( x \right) = 650000 + 450\left( {x - 1000} \right) = 450x + 200000\].

- Chi phí sản xuất: \[C\left( x \right) = 0,1{x^2} + 100x + 20000\,{\rm{(USD)}}.\]

- Thuế phụ thu \[t\] trên mỗi sản phẩm tính từ sản phẩm thứ 1001: \[T(x) = t\left( {x - 1000} \right)\].

- Tổng chi phí và thuế là:\[{C_{total}}\left( x \right) = 0,1{x^2} + 100x + 20000 + t\left( {x - 1000} \right)\].

- Lợi nhuận bằng doanh thu trừ đi tổng chi phí:

\[\begin{array}{l}P\left( x \right) = R\left( x \right) - {C_{total}}\left( x \right)\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \left( {450x + 200000} \right) - \left[ {0,1{x^2} + 100x + 20000 + t\left( {x - 1000} \right)} \right]\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = - 0,1{x^2} + \left( {350 - t} \right)x + 180000 + 1000t\end{array}\]

Lợi nhuận đạt cực đại khi: \[x = \frac{{ - (350 - t)}}{{2( - 0,1)}} = \frac{{350 - t}}{{0,2}} = 1750 - 5t\].

Số tiền thuế cơ quan nhà nước thu được là: \[T(t) = t\left( {x - 1000} \right)\].

Thay \[x = 1750 - 5t\] vào biểu thức trên ta được:

\[T\left( t \right) = t\left( {1750 - 5t - 1000} \right) = t\left( {750 - 5t} \right) = - 5{t^2} + 750t\].

Tiền thuế \[T\left( t \right)\]đạt giá trị lớn nhất khi: \[t = \frac{{ - 750}}{{2( - 5)}} = 75\] (USD/sản phẩm).

Khi mức thuế \[t = 75\] USD được áp dụng, để lợi nhuận của công ty lớn nhất thì số lượng sản phẩm cần sản xuất là: \[x = 1750 - 5.75 = 1750 - 375 = 1375{\rm{ }}\](sản phẩm)