Một công ty cần xây một cái kho chứa hàng dạng hình hộp chữ nhật có thể tích 2000m3 

Đáp án đúng là D

Phương pháp giải

Tính diện tích bề mặt cần xây dựng, khảo sát min-max của hàm vừa tìm được hoặc đánh giá hàm vừa tìm được.

Lời giải

Xét hình hộp chữ nhật \(ABCD.{A^\prime }{B^\prime }{C^\prime }{D^\prime }\), đáy ABCD có \(AB = a,AD = 2a\), cạnh bên \({\rm{A}}{{\rm{A}}^\prime } = b\)

Diện tích một đáy: \({S_{ABCD}} = 2{a^2}\)

Tổng diện tích bốn mặt bên : \({S_{xq}} = 2a.b + 2.2a.b = 6ab\)

Thể tích \(ABCD.{A^\prime }{B^\prime }{C^\prime }{D^\prime }:V = 2{a^2}b = 2000 \Rightarrow ab = \frac{{1000}}{a}\)

Chi phí thấp nhất \( \Leftrightarrow \) diện tích toàn phần nhỏ nhất

Diện tích toàn phần của hình hộp là: \({s_{tp}} = 4{a^2} + 6ab = 4{a^2} + \frac{{6000}}{a}\)

Ta có: \(4{a^2} + \frac{{6000}}{a} = 4{a^2} + \frac{{3000}}{a} + \frac{{3000}}{a} \ge 3\sqrt[3]{{4{a^2}.\frac{{3000}}{a}.\frac{{3000}}{a}}} = 3\sqrt[3]{{36000000}}\)

Dấu bằng xảy \({\rm{ra}} \Leftrightarrow 4{a^2} = \frac{{3000}}{a} \Leftrightarrow a = 5\sqrt[3]{6}\)

Giá trị nhỏ nhất của diện tích toàn phần là : \({S_{\min }} = 100\sqrt[3]{{36}} + \frac{{6000}}{{5\sqrt[3]{6}}}\)

\( \Rightarrow \) Chi phí nhỏ nhất là \(\left( {100\sqrt[3]{{36}} + \frac{{6000}}{{5\sqrt[3]{6}}}} \right).500000 \approx 495.289.087\) đồng

Cách 2 : Khảo sát hàm số: \(y = 4{a^2} + \frac{{6000}}{a}\) tìm min