Một công ty bánh kẹo muốn sản xuất một loại kẹo có dạng hình nón. Nhân của kẹo làm bằng sô cô la là một hình trụ có bán kính đáy và chiều cao cùng bằng 1 cm
9/9
Một công ty bánh kẹo muốn sản xuất một loại kẹo có dạng hình nón. Nhân của kẹo làm bằng sô cô la là một hình trụ có bán kính đáy và chiều cao cùng bằng \[{\rm{1}}\,\,{\rm{cm}}\], một đáy của nhân kẹo nằm trên mặt đáy của hình nón và có tâm trùng với tâm đáy hình nón, đường tròn đáy còn lại của hình trụ nằm trên mặt xung quanh của hình nón. Phần còn lại của kẹo được phủ đầy bằng sữa khô (hình vẽ bên). Biết rằng công ty đã thiết kế viên kẹo có thể tích nhỏ nhất để tiết kiệm tối đa nguyên liệu sữa khô. Tính chiều cao của viên kẹo.
Đật \(AM = x\,\,\)\(({\rm{cm}},x > 0)\)
Khi đó chiều cao viên kẹo là \[h = OA\]\[ = x + 1\].
Áp dụng định lý Thalès, ta có: \(\frac{{AM}}{{OA}} = \frac{{EM}}{{OB}}\) hay \(\frac{x}{{x + 1}} = \frac{1}{R}\) suy ra \(R = \frac{{x + 1}}{x}\)
Thể tích viên kẹo là: \(\)
\(V = \frac{1}{3}\pi {R^2}h\)\( = \frac{1}{3}\pi {\left( {\frac{{x + 1}}{x}} \right)^2} \cdot \,\,(x + 1)\)
\( = \frac{1}{3}\pi \cdot \frac{{{x^3} + 3{x^2} + 3x + 1}}{{{x^2}}}\)\( = \pi \left( {\frac{x}{3} + 1 + \frac{1}{x} + \frac{1}{{3{x^2}}}} \right)\)
\( = \pi \left( {\frac{x}{4} + \frac{1}{x} + \frac{x}{{24}} + \frac{x}{{24}} + \frac{1}{{3{x^2}}} + 1} \right)\)
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy, ta có:
\(\frac{x}{4} + \frac{1}{x} \ge 2\sqrt {\frac{x}{4} \cdot \frac{1}{x}} \)\( = 2 \cdot \frac{1}{2} = 1\)
\(\frac{x}{{24}} + \frac{x}{{24}} + \frac{1}{{3{x^2}}} \ge 3\sqrt[3]{{\frac{x}{{24}} \cdot \frac{x}{{24}} \cdot \frac{1}{{3{x^2}}}}}\)\( = 3 \cdot \frac{1}{{12}} = \frac{1}{4}\)
Suy ra \(V \ge \pi \left( {1 + \frac{1}{4} + 1} \right)\)\( = \frac{{9\pi }}{4}\)
Dấu xảy ra khi và chi khi \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\frac{x}{4} = \frac{1}{x}}\\{\frac{x}{{24}} = \frac{1}{{3{x^2}}}}\end{array}} \right.\) suy ra \(x = 2\) (TM)
Vậy chiều cao của viên kẹo là \(h = 3\,\,{\rm{cm}}\,.\)