Một công trường xây dựng trường học đã thiết lập hệ toạ độ Oxyz. Các mặt kính của toà nhà được kí hiệu là (P), (Q), (R), biết: (P): 2x + y – z – 10 = 0. (Q): 6x + 3y – 3z + 15 = 0. (R): x

Hướng dẫn giải:

Đáp án: a) Đúng.            b) Đúng.            c) Sai.                 d) Đúng.

a) Đúng. Mặt phẳng (P): 2x + y – z – 10 = 0 có vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow {{n_P}}  = \left( {2;1; - 1} \right)\)

Mặt phẳng (Q): 6x + 3y – 3z + 15 = 0 có vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow {{n_Q}}  = \left( {6;3; - 3} \right)\).

Ta có: \(\overrightarrow {{n_Q}}  = \left( {6;3; - 3} \right) = 3 \cdot \left( {2;1; - 1} \right) = 3 \cdot \overrightarrow {{n_P}} \) và 3∙(-10) ≠ 15.

Vậy (P) // (Q).

b) Đúng. Mặt phẳng (R): x − 3y – z + 1 = 0 có vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow {{n_R}}  = \left( {1; - 3; - 1} \right)\)

Ta có: \(\overrightarrow {{n_P}}  \cdot \overrightarrow {{n_R}}  = 2 \cdot 1 + 1 \cdot \left( { - 3} \right) + \left( { - 1} \right) \cdot \left( { - 1} \right) = 0\).

Vậy  (P) \( \bot \) (R).

c) Sai. Ta có (P) \( \bot \) (R) và (P) // (Q).

Mặt phẳng (R): x − 3y – z + 1 = 0 có vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow {{n_R}}  = \left( {1; - 3; - 1} \right)\)

Mặt phẳng (Q): 6x + 3y – 3z + 15 = 0 có vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow {{n_Q}}  = \left( {6;3; - 3} \right)\).

\(\overrightarrow {{n_R}}  \cdot \overrightarrow {{n_Q}}  = 6 \cdot 1 + 3 \cdot \left( { - 3} \right) + \left( { - 3} \right) \cdot \left( { - 1} \right) = 0\).

Vậy (R) \( \bot \) (Q).

Vậy (P), (Q), (R) không đôi một vuông góc.

d) Đúng. Chọn M(5; 0; 0) là điểm thuộc mặt phẳng (P).

Do (P) // (Q) nên:

d((P), (Q)) = d(M, (Q)) = \(\frac{{\left| {5 \cdot 6 + 0 \cdot 3 - 0 \cdot 3 + 15} \right|}}{{\sqrt {{6^2} + {3^2} + {3^2}} }} = \frac{{45}}{{3\sqrt 6 }} = \frac{{15}}{{\sqrt 6 }}\).