Một công nhân theo kế hoạch phải làm 120 sản phẩm trong một thời gian nhất định. Do cải tiến kĩ thuật nên thực tế mỗi ngày người đó đã làm được nhiều hơn 3 sản phẩm so với kế hoạch

Gọi x là số sản phẩm mà người công nhân phải làm theo kế hoạch mỗi ngày (x ∈ ℕ^*, x < 120).

Số sản phẩm mỗi ngày mà người đó đã làm theo thực tế là x + 3 (sản phẩm).

Thời gian mà người đó phải hoàn thành theo kế hoạch là \(\frac{{120}}{x}\) (ngày).

Thời gian mà người đó đã hoàn thành theo thực tế là \(\frac{{120}}{{x + 3}}\) (ngày).

Theo bài, người đó đã hoàn thành công việc sớm hơn dự định 2 ngày nên ta có phương trình: \(\frac{{120}}{x} - \frac{{120}}{{x + 3}} = 2.\)

Giải phương trình:

\(\frac{{120}}{x} - \frac{{120}}{{x + 3}} = 2\)

\(\frac{{60}}{x} - \frac{{60}}{{x + 3}} = 1\)

\(\frac{{60\left( {x + 3} \right)}}{{x\left( {x + 3} \right)}} - \frac{{60x}}{{x\left( {x + 3} \right)}} = \frac{{x\left( {x + 3} \right)}}{{x\left( {x + 3} \right)}}\)

60(x + 3) – 60x = x(x + 3)

60x + 180 – 60x = x² + 3x

x² + 3x ‒180 = 0

Phương trình trên có a = 1, b = 3, c = ‒180, ∆ = 3² ‒ 4.1.(‒180) = 9 + 720 = 729 > 0.

Do đó, phương trình có hai nghiệm phân biệt là

\[{x_1} = \frac{{ - 3 + \sqrt {729} }}{{2 \cdot 1}} = \frac{{ - 3 + 27}}{2} = \frac{{24}}{2} = 12;\]

\[{x_2} = \frac{{ - 3 - \sqrt {729} }}{{2 \cdot 1}} = \frac{{ - 3 - 27}}{2} = \frac{{ - 30}}{2} = - 15.\]

Ta thấychỉ có giá trị x₁ = 12 thoả mãn điều kiện.

Vậy theo kế hoạch, mỗi ngày công nhân đó phải làm 12 sản phẩm.