Một cổng chào có dạng parabol y = ax^2 với a khác 0 trong mặt phẳng tọa độ (Oxy) như hình vẽ. Biết rằng trục Ox song song với hai chân cổng đặt trên mặt đất bằng phẳng và đơn vị trên mỗi trục

Đáp án đúng là: C

Đỉnh parabol đặt tại gốc tọa độ \(O\left( {0;0} \right)\).

Khoảng cách hai chân cổng là 8, chiều cao là 6,4 nên điểm chân cổng bên phải có tọa độ \(\left( {4; - 6,4} \right)\).

Thay vào hàm số \(y = a{x^2}\) ta được:

\( - 6,4 = a \cdot {4^2}\), ta tính được \(a =  - 0,4\).

Parabol có phương trình \(y =  - 0,4{x^2}\).

Gọi \(D\) là điểm nằm ở góc phải phía trên của khung thép, tọa độ \(D\) là \(\left( {x;\,\, - 0,4{x^2}} \right)\) với \(0 < x < 4\).

Khung thép hình chữ nhật \(ABCD\) có chiều rộng là \(2x\) và chiều cao là phần chênh lệch từ mặt đất lên đỉnh vòm: \( - 0,4{x^2} - \left( { - 6,4} \right) = 6,4 - 0,4{x^2}\).

Chu vi của khung thép (tổng chiều dài vật liệu cần dùng) là:

\(P = 2 \cdot \left( {2x + 6,4 - 0,4{x^2}} \right) = 4x + 12,8 - 0,8{x^2}\)

\( =  - 0,8\left( {{x^2} - 5x} \right) + 12,8\)

\( =  - 0,8{\left( {x - 2,5} \right)^2} + 0,8 \cdot 6,25 + 12,8\)

\( =  - 0,8{\left( {x - 2,5} \right)^2} + 5 + 12,8\)

\( =  - 0,8{\left( {x - 2,5} \right)^2} + 17,8\).

Chu vi khung thép đạt giá trị lớn nhất là 17,8 m khi \(x = 2,5\).\

Số tiền nhiều nhất phải trả là \(17,8 \cdot 3 = 53,4\) triệu đồng.