Một con tàu biển M rời cảng O và chuyển động thẳng theo phương tạo với bờ biển một góc 60°. Trên bờ biển có hai đài quan sát A và B nằm về hai phía so với cảng O và lần lượt cách cảng O khoản

Đáp án đúng là: B

Xét tam giác MOB có:

Áp dụng định lí Côsin, ta có:

MB² = OM² + OB² - 2.OM.OB.\(cos\widehat {BOM}\)

⇔ MB² = x² + 2² - 2.x.2.cos60°

\[ \Leftrightarrow MB = \sqrt {{x^2}-2x + 4} \] (km)

Ta lại có: \(\widehat {AOM} + \widehat {BOM} = 180^\circ \)

Do đó \(\widehat {AOM} = 180^\circ -\widehat {BOM} = 180^\circ -60^\circ = 120^\circ \).

Xét tam giác MOA, áp dụng định lí Côsin, ta có:

MA² = OM² + OA² - 2.OM.OA.\(cos\widehat {AOM}\)

⇔ MA² = x² + 1² - 2.x.1.cos120°

⇔ MA² = x² + 1 + x

\( \Leftrightarrow MA = \sqrt {{x^2} + x + 1} \) (km)

Để khoảng cách từ tàu đến B bằng \(\frac{4}{5}\) khoảng cách từ tàu đến A thì

\(\sqrt {{x^2}-2x + 4} = \frac{4}{5}\sqrt {{x^2} + x + 1} \)

Bình phương hai vế của phương trình ta được:

x² - 2x + 4 = \(\frac{{16}}{{25}}\)(x² + x + 1)

⇔ 25x² - 50x + 100 = 16x² + 16x + 16

⇔ 9x² - 66x + 84 = 0

\( \Leftrightarrow x = \frac{{11 \pm \sqrt {37} }}{3}\)

Thay lần lượt các giá trị trên vào phương trình đã cho ta thấy cả hai giá trị đều thỏa mãn.

Vậy với \(x = \frac{{11-\sqrt {37} }}{3}\) hoặc \(x = \frac{{11 + \sqrt {37} }}{3}\) thì khoảng cách từ tàu đến B bằng \(\frac{4}{5}\) khoảng cách từ tàu đến A.